عبارات جبريّة — بدون وضعية

تمرين 54 \(a = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\)

📐 نص التمرين

نعتبر العدد الذهبي \(a = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\).

أ) بيّن أن \(a^2 = a + 1\) وأن \(a - 1 = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\)، واستنتج أن \(a-1\) هو مقلوب \(a\)

ب) أحسب \(a(a-1)\)

ت) بيّن أن \(\dfrac{1}{a-1} + a - 1 = \sqrt{5}\)

ث) رتّب تصاعدياً \(a^2\) و \(a\) و \(\dfrac{1}{a}\)

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

أ) احسب \(a^2\) بالنشر المباشر، ثمّ قارن مع \(a+1\).
مقلوب \(a\) يعني \(a \times (a-1) = 1\).
ب) استعمل مباشرة \(a^2 = a+1\) → \(a(a-1) = a^2 - a\).
ت) \(\dfrac{1}{a-1} = a\) من الجزء أ) — عوّض بها مباشرة.
ث) استعمل القيم الجبرية (وليس التقريبية) التي حسبتها في أ) و ب) لترتيبها.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : انشر \(a^2\) بتربيع البسط والمقام، ثمّ قارن الناتج مع \(a+1\) المحسوب مباشرة من تعريف \(a\).

الخطوة 2 : احسب \(a-1\) بطرح 1 من \(a\)، ثمّ تحقّق من الصيغة المعطاة.

الخطوة 3 : لإثبات أنّ \(a-1\) مقلوب \(a\)، احسب الجذاء \(a(a-1)\) واستعمل \(a^2=a+1\) لتبسيطه إلى 1.

الخطوة 4 : لإثبات المساواة الثالثة، استبدل \(\dfrac{1}{a-1}\) بـ \(a\) (نتيجة أ))، ثمّ اجمع مع \(a-1\) واستعمل عبارة \(a\) الأصلية.

الخطوة 5 : للترتيب، عبّر عن الأعداد الثلاثة بدلالة \(a\) فقط (\(a-1\)، \(a\)، \(a+1\)) واستعمل أنّ \(a>1\) لترتيبها دون اللجوء للتقريب.

✅ الحل النهائي

أ) إثبات \(a^2 = a+1\) :

\[a^2 = \left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^2 = \dfrac{(\sqrt{5}+1)^2}{4} = \dfrac{5+2\sqrt{5}+1}{4} = \dfrac{6+2\sqrt{5}}{4} = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\]

\[a+1 = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}+1 = \dfrac{\sqrt{5}+1+2}{2} = \dfrac{\sqrt{5}+3}{2} = a^2 \checkmark\]

إثبات \(a-1 = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\) :

\[a-1 = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}-1 = \dfrac{\sqrt{5}+1-2}{2} = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \checkmark\]

\(a-1\) مقلوب \(a\) :

\[a \times (a-1) = a^2 - a = (a+1) - a = 1\]

بما أنّ \(a \times (a-1) = 1\) → \(\boxed{a-1 = \dfrac{1}{a}}\) أي \(a-1\) هو مقلوب \(a\).

ب) حساب \(a(a-1)\) :

\[a(a-1) = a^2 - a = (a+1) - a = \boxed{1}\]

ت) إثبات \(\dfrac{1}{a-1} + a-1 = \sqrt{5}\) :

من أ) : \(a-1 = \dfrac{1}{a}\) → مقلوب \((a-1)\) هو \(a\) → \(\dfrac{1}{a-1} = a\)

\[\dfrac{1}{a-1} + a-1 = a + (a-1) = 2a - 1 = 2 \times \dfrac{\sqrt{5}+1}{2} - 1 = \sqrt{5}+1-1 = \boxed{\sqrt{5}} \checkmark\]

ث) الترتيب التصاعدي لـ \(a^2\) و \(a\) و \(\dfrac{1}{a}\) :

القيمة التقريبية للمقارنة فقط : \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\)

\[a = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1{,}618\]

\[a^2 = a+1 \approx 2{,}618 \qquad \dfrac{1}{a} = a-1 \approx 0{,}618\]

التبرير الجبري : \(a > 1\) (واضح من الصيغة) → \(\dfrac{1}{a} < 1 < a\)، و\(a^2 = a+1 > a\)

\[\boxed{\dfrac{1}{a} < a < a^2}\]

أي : \(a-1 < a < a+1\)