عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 53
تمرين 53 \(E=2x^2+6\sqrt{2}x+5,\ F=(\sqrt{2}x-3)(\sqrt{2}x+1)\)

📐 نص التمرين

نعتبر العبارتين :

\[E = 2x^2 + 6\sqrt{2}x + 5 \qquad F = (\sqrt{2}x - 3)(\sqrt{2}x + 1)\]

1) أ) أحسب \(E\) إذا كان \(x = -\sqrt{2}\)
ب) أحسب \(F\) حيث \(x = -1\)
2) أ) بيّن أن \(E = (\sqrt{2}x + 3)^2 - 4\)
ب) استنتج تفكيكاً للعبارة \(E\)
3) بيّن أن \(E + F = 2(\sqrt{2}x + 1)^2\)
4) أ) أوجد \(x\) حيث \(2x^2 + 6\sqrt{2}x + 5 = (\sqrt{2}x-3)(\sqrt{2}x+1)\)
ب) أوجد \(x\) حيث \(\sqrt{E+F} = 2\sqrt{2}\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • 2-أ) انشر \((\sqrt{2}x+3)^2 - 4\) وتحقّق من مساواتها لـ \(E\).
  • 2-ب) \((\sqrt{2}x+3)^2 - 4 = (\sqrt{2}x+3)^2 - 2^2\) — فرق مربعين.
  • 3) احسب \(E + F\) بالنشر الكامل ثمّ اختصر، أو استعمل التفكيك السابق.
  • 4-ب) \(\sqrt{E+F} = 2\sqrt{2}\) → \(E+F = 8\) ← استعمل نتيجة السؤال 3) مباشرة.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة المطلوبة (\(E\) أو \(F\)) ثمّ بسّط باستعمال \((\sqrt{a})^2=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف \((\sqrt{2}x+3)^2-4\) خطوة بخطوة وتحقّق أنّك تصل بالضبط إلى \(E\).

الخطوة 3 : اكتب \(E\) على شكل \(a^2-b^2\) (بعد إثبات 2-أ)) وطبّق \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

الخطوة 4 : انشر \(F\) بمفرده، ثمّ اجمعه مع \(E\) وبسّط للوصول إلى الصيغة المطلوبة على شكل مربّع.

الخطوة 5 : لحلّ المعادلة \(E=F\)، اكتب \(E-F=0\) واستعمل تفكيكي \(E\) و\(F\) لإخراج عامل مشترك.

الخطوة 6 : لحلّ معادلة الجذر، ربّع الطرفين أوّلاً للتخلّص من الجذر، ثمّ استعمل نتيجة السؤال 3) واستنتج المعادلة من الدرجة الثانية على شكل \((\ldots)^2=\text{عدد}\).

✅ الحل النهائي

أ) حساب \(E\) عند \(x = -\sqrt{2}\) :
\[E = 2(-\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{2} \times (-\sqrt{2}) + 5 = 2 \times 2 - 6 \times 2 + 5 = 4 - 12 + 5 = \boxed{-3}\]

ب) حساب \(F\) عند \(x = -1\) :
\[F = (\sqrt{2} \times (-1) - 3)(\sqrt{2} \times (-1) + 1) = (-\sqrt{2}-3)(1-\sqrt{2})\]
\[= -\sqrt{2}+2-3+3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}-1\]
\[\boxed{F = 2\sqrt{2}-1}\]
أ) إثبات \(E = (\sqrt{2}x+3)^2 - 4\) :
\[(\sqrt{2}x+3)^2 - 4 = 2x^2 + 6\sqrt{2}x + 9 - 4 = 2x^2 + 6\sqrt{2}x + 5 = E \checkmark\]

ب) تفكيك \(E\) :
\[E = (\sqrt{2}x+3)^2 - 2^2 = \big[(\sqrt{2}x+3)+2\big]\big[(\sqrt{2}x+3)-2\big]\]
\[\boxed{E = (\sqrt{2}x+5)(\sqrt{2}x+1)}\]
3) إثبات \(E + F = 2(\sqrt{2}x+1)^2\) :
ننشر \(F\) أولًا :
\[F = (\sqrt{2}x-3)(\sqrt{2}x+1) = 2x^2 + \sqrt{2}x - 3\sqrt{2}x - 3 = 2x^2 - 2\sqrt{2}x - 3\]
\[E + F = (2x^2+6\sqrt{2}x+5) + (2x^2-2\sqrt{2}x-3) = 4x^2 + 4\sqrt{2}x + 2\]
\[= 2(2x^2 + 2\sqrt{2}x + 1) = 2(\sqrt{2}x+1)^2 \checkmark\]
أ) حل \(E = F\) :
\[E - F = 0\]
باستعمال التفكيكين :
\[(\sqrt{2}x+5)(\sqrt{2}x+1) - (\sqrt{2}x-3)(\sqrt{2}x+1) = 0\]
\[(\sqrt{2}x+1)\big[(\sqrt{2}x+5)-(\sqrt{2}x-3)\big] = 0\]
\[(\sqrt{2}x+1)(8) = 0\]
\[\sqrt{2}x + 1 = 0\]
\[\boxed{x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\]

ب) حل \(\sqrt{E+F} = 2\sqrt{2}\) :
\[\sqrt{E+F} = 2\sqrt{2} \Rightarrow E+F = 8\]
من 3) : \(2(\sqrt{2}x+1)^2 = 8 \Rightarrow (\sqrt{2}x+1)^2 = 4\)
\[\sqrt{2}x+1 = 2 \quad \text{أو} \quad \sqrt{2}x+1 = -2\]
\[\sqrt{2}x = 1 \quad \text{أو} \quad \sqrt{2}x = -3\]
\[\boxed{x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{أو} \quad x = \dfrac{-3\sqrt{2}}{2}}\]