عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 52
تمرين 52 \(A = 16-x^2\)

📐 نص التمرين

نعتبر العبارة \(A\) حيث \(A = 16 - x^2\).

1) أحسب \(A\) إذا كان \(x = \dfrac{1}{2} - \sqrt{3}\)
2) أ) فكّك \(A\) إلى جذاء عوامل
3) استنتج تفكيكاً للعبارة \(A - \sqrt{48} + x\sqrt{3}\)
4) أوجد \(x\) إذا كان \(A = \sqrt{48} - x\sqrt{3}\)
5) لتكن \(B = -2x^2 - 6x + 8\)
أ) بيّن أن \(A - B = (x+3)^2 - 1\)
ب) استنتج تفكيكاً للعبارة \(A - B\)
6) أوجد \(x\) في كل حالة :
أ) \(A = B\)
ب) \(A\) و \(B\) متقابلان
ج) \(\sqrt{A - B + 1} = 3\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • 2) \(A = 16-x^2 = 4^2-x^2\) → فرق مربعين.
  • 3) لاحظ أنّ \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) — العبارة \(A-\sqrt{48}+x\sqrt{3}\) تكتب \(A-\sqrt{3}(4-x)\)، ثمّ أخرج العامل المشترك \((4-x)\).
  • 5-أ) احسب \(A-B\) بالنشر ثمّ أكمل المربع.
  • 6-ج) ربّع الطرفين أولًا، ثمّ استعمل تفكيك \(A-B\) من السؤال 5-ب).

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في \(A=16-x^2\) وبسّط باستعمال \((\sqrt{a})^2=a\).

الخطوة 2 : اكتب \(16\) على شكل \(4^2\) وطبّق \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

الخطوة 3 : اكتب \(\sqrt{48}\) على شكل \(4\sqrt{3}\)، ثمّ أخرج العامل المشترك \((4-x)\) من العبارة كاملة باستعمال تفكيك السؤال 2).

الخطوة 4 : المعادلة المطلوبة تكافئ « العبارة المفكّكة في 3) = 0 » — استعمل خاصيّة الجذاء الصفري مباشرة.

الخطوة 5 : احسب \(A-B\) بالنشر والتبسيط، ثمّ أكمل المربع للوصول إلى شكل \((x+3)^2-1^2\) وطبّق فرق المربعين.

الخطوة 6 : في كلّ حالة (تساوٍ، تقابل، معادلة بجذر) أرجع أولًا إلى الشكل المناسب (\(A-B=0\) أو \(A+B=0\) أو تربيع الطرفين) ثمّ استعمل تفكيك \(A-B\) من 5-ب).

✅ الحل النهائي

1) حساب \(A\) عند \(x = \dfrac{1}{2} - \sqrt{3}\) :
\[A = 16 - x^2 = 16 - \left(\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}\right)^2 = 16 - \left(\dfrac{1}{4} - \sqrt{3} + 3\right) = 16 - \dfrac{1}{4} + \sqrt{3} - 3\]
\[A = 13 - \dfrac{1}{4} + \sqrt{3} = \boxed{\dfrac{51}{4} + \sqrt{3}}\]
2) تفكيك \(A\) :
\[A = 16 - x^2 = 4^2 - x^2 = \boxed{(4-x)(4+x)}\]
3) تفكيك \(A - \sqrt{48} + x\sqrt{3}\) :
\[\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}\]
\[A - \sqrt{48} + x\sqrt{3} = (4-x)(4+x) - 4\sqrt{3} + x\sqrt{3}\]
\[= (4-x)(4+x) - \sqrt{3}(4-x)\]
\[= (4-x)\big[(4+x) - \sqrt{3}\big]\]
\[\boxed{= (4-x)(x + 4 - \sqrt{3})}\]
4) حل \(A = \sqrt{48} - x\sqrt{3}\) :
\[A = \sqrt{48} - x\sqrt{3} \Leftrightarrow A - \sqrt{48} + x\sqrt{3} = 0\]
من 3) : \((4-x)(x+4-\sqrt{3}) = 0\)
\[\boxed{x = 4 \quad \text{أو} \quad x = \sqrt{3} - 4}\]
أ) إثبات \(A - B = (x+3)^2 - 1\) :
\[A - B = (16-x^2) - (-2x^2-6x+8) = 16-x^2+2x^2+6x-8 = x^2+6x+8\]
\[x^2+6x+8 = x^2+6x+9-1 = (x+3)^2-1 \checkmark\]

ب) تفكيك \(A - B\) :
\[A - B = (x+3)^2 - 1^2 = \big[(x+3)-1\big]\big[(x+3)+1\big] = \boxed{(x+2)(x+4)}\]
أ) \(A = B\) :
\[A - B = 0 \Rightarrow (x+2)(x+4) = 0\]
\[\boxed{x = -2 \quad \text{أو} \quad x = -4}\]

ب) \(A\) و \(B\) متقابلان :
\[A + B = 0\]
\[(16-x^2) + (-2x^2-6x+8) = 0\]
\[-3x^2-6x+24 = 0\]
\[x^2+2x-8 = 0\]
\[(x+4)(x-2) = 0\]
\[\boxed{x = -4 \quad \text{أو} \quad x = 2}\]

ج) \(\sqrt{A-B+1} = 3\) :
\[A - B + 1 = 9\]
\[(x+3)^2 - 1 + 1 = 9\]
\[(x+3)^2 = 9\]
\[x+3 = 3 \quad \text{أو} \quad x+3 = -3\]
\[\boxed{x = 0 \quad \text{أو} \quad x = -6}\]