عبارات جبريّة — بدون وضعية

تمرين 51 \(A=x^2-25,\ B=3x^2-17x+10\)

نعتبر العبارتين :

\[A = x^2 - 25 \qquad B = 3x^2 - 17x + 10\]

1) أحسب \(B\) إذا علمت أن \(x = \dfrac{1}{3} + \sqrt{2}\)

2) بيّن أن \(B = (x-5)(3x-2)\)

3) أوجد العدد \(x\) في كل حالة :
أ) \(A = B\)
ب) \(3A\) و \(B\) متقابلان

لم تبدأ بعد

1) انطلق أولًا من تفكيك \(B=(x-5)(3x-2)\) (سؤال 2) قبل التعويض — أسهل بكثير من العبارة الأصلية.
2) انشر \((x-5)(3x-2)\) وتحقّق من حصولك على \(3x^2-17x+10\).
3-أ) \(A = x^2 - 25 = (x-5)(x+5)\) — اجعل كلّ شيء في طرف واحد واستعمل التفكيك المشترك.
3-ب) « متقابلان » يعني \(3A + B = 0\).

الخطوة 1 : فكّك \(B\) أولًا (سؤال 2) قبل التعويض في السؤال 1) — يجعل الحساب أبسط بكثير من التعويض المباشر في العبارة الأصلية.

الخطوة 2 : عوّض \(x-5\) و \(3x-2\) بقيمتيهما العدديتين ثمّ اضرب.

الخطوة 3 : انشر \((x-5)(3x-2)\) بترتيب، اجمع الحدود من نفس الدرجة وتحقّق من المساواة مع \(B\).

الخطوة 4 : لحلّ \(A=B\) : فكّك \(A\) أيضًا (فرق مربعين)، اجعل \(A-B=0\) ثمّ أخرج العامل المشترك \((x-5)\) من التفكيكين.

الخطوة 5 : لحلّ « \(3A\) و \(B\) متقابلان » : اكتب المعادلة \(3A+B=0\)، أخرج نفس العامل المشترك، ثمّ استعمل خاصيّة الجذاء الصفري.

1) حساب \(B\) عند \(x = \dfrac{1}{3} + \sqrt{2}\) :

باستعمال التفكيك \(B=(x-5)(3x-2)\) :

\[x - 5 = \dfrac{1}{3} + \sqrt{2} - 5 = \dfrac{1-15}{3} + \sqrt{2} = \dfrac{-14 + 3\sqrt{2}}{3}\]

\[3x - 2 = 3\left(\dfrac{1}{3}+\sqrt{2}\right) - 2 = 1 + 3\sqrt{2} - 2 = 3\sqrt{2} - 1\]

\[B = \dfrac{(-14+3\sqrt{2})(3\sqrt{2}-1)}{3} = \dfrac{-42\sqrt{2}+14+18-3\sqrt{2}}{3} = \boxed{\dfrac{32-45\sqrt{2}}{3}}\]

2) إثبات \(B = (x-5)(3x-2)\) :

\[(x-5)(3x-2) = 3x^2 - 2x - 15x + 10 = 3x^2 - 17x + 10 = B \checkmark\]

أ) حل \(A = B\) :

\(A = (x-5)(x+5)\) (فرق مربعين)

\[(x-5)(x+5) = (x-5)(3x-2)\]

\[(x-5)(x+5) - (x-5)(3x-2) = 0\]

\[(x-5)\big[(x+5)-(3x-2)\big] = 0\]

\[(x-5)(-2x+7) = 0\]

إذًا : \(x - 5 = 0\) أو \(-2x + 7 = 0\)

\[\boxed{x = 5 \quad \text{أو} \quad x = \dfrac{7}{2}}\]

ب) حل « \(3A\) و \(B\) متقابلان » :

متقابلان يعني : \(3A + B = 0\)

\[3(x-5)(x+5) + (x-5)(3x-2) = 0\]

\[(x-5)\big[3(x+5) + (3x-2)\big] = 0\]

\[(x-5)(3x+15+3x-2) = 0\]

\[(x-5)(6x+13) = 0\]

\[\boxed{x = 5 \quad \text{أو} \quad x = -\dfrac{13}{6}}\]