عبارات جبريّة — بدون وضعية

تمرين 50 \(E = -x^2+4x+4\)

نعتبر العبارة \(E = -x^2 + 4x + 4\) حيث \(x\) عدد حقيقي.

1) أ) بيّن أن \(E = 8 - (x-2)^2\)
ب) استنتج أن \(E \leq 8\)

2) في حالة \(x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) :
أ) أحسب \(E\)
ب) استنتج مقارنة لـ \(2\sqrt{3}\) و \(\dfrac{19}{4}\)

لم تبدأ بعد

1-أ) انطلق من \(8 - (x-2)^2\) وانشر \((x-2)^2\) للتحقّق من المساواة مع \(E\).
1-ب) \((x-2)^2 \geq 0\) دائماً مهما كانت قيمة \(x\) — ماذا يعني ذلك بالنسبة لـ \(8-(x-2)^2\) ؟
2-أ) عوّض في الصيغة \(8-(x-2)^2\) أسهل بكثير من التعويض في العبارة الأصلية.
2-ب) ستجد أنّ \(E = \dfrac{19}{4} - 2\sqrt{3}\) — قارن هذه الكتابة مع \(\dfrac{19}{4}\) باستعمال نتيجة 1-ب).

الخطوة 1 : انشر \((x-2)^2\) في الطرف \(8-(x-2)^2\) وتحقّق أنّك تحصل بالضبط على \(E\).

الخطوة 2 : استعمل أنّ مربّع أيّ عدد حقيقي موجب أو يساوي صفر لتستنتج إشارة \(-(x-2)^2\)، ثمّ قارن \(8-(x-2)^2\) بـ 8.

الخطوة 3 : عوّض \(x\) بقيمته في الصيغة المفكّكة \(8-(x-2)^2\) (أسهل من العبارة الأصلية) ثمّ بسّط باستعمال \((\sqrt{a})^2=a\).

الخطوة 4 : اكتب \(E\) على الشكل \(\dfrac{p}{q}+2\sqrt{3}\)، ثمّ استعمل نتيجة السؤال 1-ب) مباشرة لتستنتج المقارنة المطلوبة دون أيّ حساب إضافي.

أ) إثبات \(E = 8 - (x-2)^2\) :

ننشر الطرف الأيمن :

\[8 - (x-2)^2 = 8 - (x^2 - 4x + 4) = 8 - x^2 + 4x - 4 = -x^2 + 4x + 4\]

وهذا يساوي \(E\) بالضبط. إذًا \(E = 8 - (x-2)^2\). ✓

ب) إثبات \(E \leq 8\) :

لأي عدد حقيقي \(x\) : \((x-2)^2 \geq 0\)

إذًا : \(-(x-2)^2 \leq 0\)

إذًا : \(8 - (x-2)^2 \leq 8\)

أي : \[\boxed{E \leq 8}\]

أ) حساب \(E\) عند \(x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) :

\[E = 8 - \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 2\right)^2 = 8 - \left(\dfrac{\sqrt{3} - 4}{2}\right)^2 = 8 - \dfrac{(\sqrt{3}-4)^2}{4}\]

\[(\sqrt{3}-4)^2 = 3 - 8\sqrt{3} + 16 = 19 - 8\sqrt{3}\]

\[E = 8 - \dfrac{19 - 8\sqrt{3}}{4} = \dfrac{32 - 19 + 8\sqrt{3}}{4} = \dfrac{13 + 8\sqrt{3}}{4}\]

تبسيط مفيد : \(\dfrac{13 + 8\sqrt{3}}{4} = \dfrac{13}{4} + 2\sqrt{3}\)

ب) مقارنة \(2\sqrt{3}\) و \(\dfrac{19}{4}\) :

من الحساب : \(E = \dfrac{13}{4} + 2\sqrt{3}\)

ومن 1-ب) : \(E \leq 8\)

إذًا : \(\dfrac{13}{4} + 2\sqrt{3} \leq 8\)

\[2\sqrt{3} \leq 8 - \dfrac{13}{4} = \dfrac{32-13}{4} = \dfrac{19}{4}\]

\[\boxed{2\sqrt{3} \leq \dfrac{19}{4}}\]