عبارات جبريّة — بدون وضعية

تمرين 49 \(A = x^{2} - 4x - 12\)

نعتبر العبارة \(A = x^{2} - 4x - 12\) حيث \(x\) عدد حقيقي.

1) احسب القيمة العددية للعبارة \(A\) إذا كان:
أ) \(x = 1\)
ب) \(x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

2) أ) بين أن \(A = (x - 2)^{2} - 16\).
ب) استنتج تفكيكًا إلى جذاء عوامل للعبارة \(A\).
ج) أوجد الأعداد الحقيقية \(x\) حيث \(A = 0\).

3) لتكن العبارة التالية: \(B = 12x - 2x^{2}\).
أ) فكك إلى جذاء عوامل العبارة \(A + B\).
ب) أوجد الأعداد الحقيقية \(x\) حيث \(A = -B\).

لم تبدأ بعد

قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 4 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 5 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

أ) من أجل \(x = 1\):

\(A = (1)^2 - 4(1) - 12 = 1 - 4 - 12 = -15\)

ب) من أجل \(x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\(A = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 12\)

\(A = \frac{3}{4} + 2\sqrt{3} - 12 = 2\sqrt{3} - \frac{45}{4}\)

أ) إثبات الصيغة:

\((x - 2)^2 - 16 = x^2 - 4x + 4 - 16 = x^2 - 4x - 12 = A\)

ب) التفكيك:

\(A = (x - 2)^2 - 4^2 = ((x - 2) - 4)((x - 2) + 4) = (x - 6)(x + 2)\)

ج) حل المعادلة \(A = 0\):

\((x - 6)(x + 2) = 0\)

يعني \(x - 6 = 0\) أو \(x + 2 = 0\)

إذن \(x = 6\) أو \(x = -2\)

أ) تفكيك \(A + B\):

\(B = 2x(6 - x) = -2x(x - 6)\)

\(A + B = (x - 6)(x + 2) - 2x(x - 6)\)

نستخرج العامل المشترك \((x - 6)\):

\(A + B = (x - 6)[(x + 2) - 2x] = (x - 6)(-x + 2) = -(x - 6)(x - 2)\)

ب) حل المعادلة \(A = -B\):

\(A = -B \iff A + B = 0\)

\(-(x - 6)(x - 2) = 0 \iff x - 6 = 0 \text{ أو } x - 2 = 0\)

إذن \(x = 6\) أو \(x = 2\)