عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 48
تمرين 48 1) بين أن

📐 نص التمرين

نعتبر العددين:

\(a = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}}{2} - \left(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \quad \text{و} \quad b = \sqrt{45} - \sqrt{20} + 1\)

1) بين أن a = \sqrt{10} و b = \sqrt{5} + 1.
2) أ) بين أن a^{2} - b^{2} = 4 - 2\sqrt{5}.
ب) قارن 4 و 2\sqrt{5}.
ج) استنتج مقارنة لـ a و b.
3) قارن: أ) d = \sqrt{10} - \frac{1}{2} و e = \sqrt{5} + \frac{1}{2}
ب) f = 2\sqrt{5} و g = \sqrt{10} + \sqrt{2}
4) ليكن العدد c = \frac{b-2}{4}:
أ) بين أن العددين b و c مقلوبان.
ب) استنتج أن \frac{ab}{4} < \frac{a}{2} + 1.
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.
  • لمقارنة عددين موجبين يكفي مقارنة مربّعيهما ؛ و لإثبات أنّ عددين مقلوبان احسب جداءهما.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

الخطوة 2 : قارن المربّعات إن كان العددان موجبين ، أو ادرس إشارة الفرق ، أو احسب الجداء إن كان السؤال عن المقلوب.

✅ الحل النهائي

تبسيط \(a\):
\((\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}\)
\(\left(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 2^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\)
\(a = \frac{7 + 2\sqrt{10}}{2} - \frac{7}{2} = \frac{7 + 2\sqrt{10} - 7}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}\)

تبسيط \(b\):
\(\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}\)
\(\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}\)
\(b = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 1 = \sqrt{5} + 1\)
أ) حساب الفارق \(a^2 - b^2\):
\(a^2 = (\sqrt{10})^2 = 10\)
\(b^2 = (\sqrt{5} + 1)^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}\)
\(a^2 - b^2 = 10 - (6 + 2\sqrt{5}) = 4 - 2\sqrt{5}\)

ب) مقارنة \(4\) و \(2\sqrt{5}\):
\(4^2 = 16\)
\((2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20\)
بما أن \(16 < 20\) والعددين موجبان، فإن \(4 < 2\sqrt{5}\)

ج) استنتاج مقارنة \(a\) و \(b\):
بما أن \(4 < 2\sqrt{5}\)، فإن \(4 - 2\sqrt{5} < 0\)
إذن \(a^2 - b^2 < 0 \implies a^2 < b^2\)
بما أن \(a\) و \(b\) عددان موجبان قطعا، فإن \(a < b\)
أ) مقارنة \(d\) و \(e\):
\(d - e = (\sqrt{10} - \frac{1}{2}) - (\sqrt{5} + \frac{1}{2}) = \sqrt{10} - \sqrt{5} - 1\)
نعلم أن \(a < b \implies \sqrt{10} < \sqrt{5} + 1 \implies \sqrt{10} - \sqrt{5} - 1 < 0\)
إذن \(d < e\)

ب) مقارنة \(f\) و \(g\):
\(f^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20\)
\(g^2 = (\sqrt{10} + \sqrt{2})^2 = 10 + 2\sqrt{20} + 2 = 12 + 4\sqrt{5}\)
نارن \(20\) و \(12 + 4\sqrt{5} \implies\) نطرح \(12 \implies\) نقارن \(8\) و \(4\sqrt{5}\)
\(8^2 = 64\) و \((4\sqrt{5})^2 = 80 \implies 64 < 80\)
إذن \(f^2 < g^2 \implies f < g\)
أ) إثبات أن \(b \times c = 1\):
\(b - 2 = (\sqrt{5} + 1) - 2 = \sqrt{5} - 1\)
\(c = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}\)
\(b \times c = (\sqrt{5} + 1) \times \frac{\sqrt{5} - 1}{4} = \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1\)
إذن \(b\) و \(c\) مقلوبان.

ب) المتباينة:
نعلم أن \(a < b \implies a \times c < b \times c\) (لأن \(c > 0\))
\(a \times \frac{\sqrt{5}-1}{4} < 1 \implies a(\sqrt{5}-1) < 4\)
وبإعادة صياغة العبارة حسب مطلوب التمرين نصل للمطلوب بنفس التكافؤ.