عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 47
تمرين 47 و

📐 نص التمرين

نعتبر العددين \(a = \sqrt{\frac{7}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2}} + \frac{5 - (\sqrt{2}-1)^2}{4}\) و \(b = \sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}\).

1) بين أن \(a = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\) و \(b = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\).
2) أثبت أن \(a \cdot b = 1\).
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

✅ الحل النهائي

بالنسبة لـ \(b\): \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)

\(b = \sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\)

\(a \cdot b = \left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{6 - 2}{4} = \frac{4}{4} = 1\)