عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 43
تمرين 43 \(a = (\sqrt{3} + 2)^2\)

📐 نص التمرين

نعتبر \(a = (\sqrt{3} + 2)^2\) و \(b = 3\sqrt{18} - \sqrt{32} + 7\) و \(c = 7 - 4\sqrt{3}\).

1) بين أن \(a\) و \(c\) مقلوبان.
2) استنتج أن \(bc > 1\).
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.
  • لمقارنة عددين موجبين يكفي مقارنة مربّعيهما ؛ و لإثبات أنّ عددين مقلوبان احسب جداءهما.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

الخطوة 2 : قارن المربّعات إن كان العددان موجبين ، أو ادرس إشارة الفرق ، أو احسب الجداء إن كان السؤال عن المقلوب.

✅ الحل النهائي

\(a = 7 + 4\sqrt{3}\)

\(a \cdot c = (7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 48 = 1\)

إذن \(a\) و \(c\) مقلوبان.

نعلم أن \(b > a \implies b \cdot c > a \cdot c\) (لأن \(c > 0\))

بما أن \(a \cdot c = 1\) فإن \(bc > 1\).