عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 41
تمرين 41 \(a = 9 - (\sqrt{50} - \sqrt{81}) - \sqrt{18}\)

📐 نص التمرين

نعتبر العددين \(a = 9 - (\sqrt{50} - \sqrt{81}) - \sqrt{18}\) و \(b = (1+\sqrt{2})^2\).

1) أ- بين أن \(a = 18 - 8\sqrt{2}\) و \(b = 3 + 2\sqrt{2}\).
1) ب- قارن بين \(a\) و \(b\).
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • لمقارنة عددين موجبين يكفي مقارنة مربّعيهما ؛ و لإثبات أنّ عددين مقلوبان احسب جداءهما.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : قارن المربّعات إن كان العددان موجبين ، أو ادرس إشارة الفرق ، أو احسب الجداء إن كان السؤال عن المقلوب.

✅ الحل النهائي

\(a = 9 - 5\sqrt{2} + 9 - 3\sqrt{2} = 18 - 8\sqrt{2}\)

\(b = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}\)

\(a - b = (18 - 8\sqrt{2}) - (3 + 2\sqrt{2}) = 15 - 10\sqrt{2}\)

بما أن \(15^2 = 225\) و \((10\sqrt{2})^2 = 200\) فإن \(15 > 10\sqrt{2}\) وبالتالي \(a > b\).