عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 39
تمرين 39 \(a = \frac{\sqrt{13}+3}{2}\)

📐 نص التمرين

نعتبر العددين \(a = \frac{\sqrt{13}+3}{2}\) و \(b = \frac{\sqrt{13}-3}{2}\).

1) بين أن \(\frac{b}{a} + \frac{a}{b} - 2 = \frac{(b-a)^2}{ab}\).
2) أ- احسب \(a \cdot b\).
2) ب- بين أن \(a\) مقلوب \(b\).
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
  • لمقارنة عددين موجبين يكفي مقارنة مربّعيهما ؛ و لإثبات أنّ عددين مقلوبان احسب جداءهما.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : قارن المربّعات إن كان العددان موجبين ، أو ادرس إشارة الفرق ، أو احسب الجداء إن كان السؤال عن المقلوب.

✅ الحل النهائي

\(\frac{b}{a} + \frac{a}{b} - 2 = \frac{b^2 + a^2 - 2ab}{ab} = \frac{(b-a)^2}{ab}\)

\(a \cdot b = \left(\frac{\sqrt{13}+3}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{13}-3}{2}\right) = \frac{13 - 9}{4} = \frac{4}{4} = 1\)

بما أن \(a \cdot b = 1\) فإن \(a\) هو مقلوب \(b\).