عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 38
تمرين 38 \(a^{2}=(5-\sqrt{2})^{2}-2(5-\sqrt{2})+1\)

📐 نص التمرين

التمرين الثاني — \(a\) عدد حقيقي موجب حيث \(a^{2}=(5-\sqrt{2})^{2}-2(5-\sqrt{2})+1\) ، و \(b=9-3\sqrt{8}+\sqrt{50}\) و \(c=\dfrac{(4\sqrt{2}+5)(3-\sqrt{2})}{7}\).
1) أ) بيّن أنّ \(a^{2}=18-8\sqrt{2}\) و \(b=9-\sqrt{2}\) و \(c=\sqrt{2}+1\).
1) ب) لاحظ أنّ \(a^{2}\) هو نشر لجذاء معتبر ثمّ فكّك \(a^{2}\).
1) ج) استنتج أنّ \(a=4-\sqrt{2}\).
2) أ) تحقّق من أنّ \(b-c=2a\) ثمّ قارن \(b\) و \(c\).
2) ب) أحسب \((b\times c)\) ثمّ استنتج أنّ \(b^{2}+c^{2}=86-16\sqrt{2}\).
3) أ) تحقّق من أنّ \(a-c=(\sqrt{2}-1)^{2}\) ثمّ قارن \(a\) و \(c\).
3) ب) بيّن أنّ \((a-c)\) و \(c^{2}\) مقلوبان.
3) ج) استنتج أنّ \(b^{2}\times(a-c)>1\).
4) لتكن \(E=x^{2}-10x+7+8\sqrt{2}\) حيث \(x\) عدد حقيقي.
أ) أحسب \(E\) في حالة \(x=c\).
ب) بيّن أنّ \(E=(x-5)^{2}-a^{2}\).
ج) استنتج أنّ \(E=(x-b)(x-c)\) ثمّ حلّ في \(\mathbb{R}\) المعادلة \(E=0\).
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
  • ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
  • لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
  • كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.
  • لمقارنة عددين موجبين يكفي مقارنة مربّعيهما ؛ و لإثبات أنّ عددين مقلوبان احسب جداءهما.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 4 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 5 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

الخطوة 6 : قارن المربّعات إن كان العددان موجبين ، أو ادرس إشارة الفرق ، أو احسب الجداء إن كان السؤال عن المقلوب.

✅ الحل النهائي

\((5-\sqrt{2})^{2}=25-10\sqrt{2}+2=27-10\sqrt{2}\).
\(-2(5-\sqrt{2})=-10+2\sqrt{2}\).
\(a^{2}=27-10\sqrt{2}-10+2\sqrt{2}+1=18-8\sqrt{2}\).
\(3\sqrt{8}=3\times 2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\) و \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) ، إذن \(b=9-6\sqrt{2}+5\sqrt{2}=9-\sqrt{2}\).
\((4\sqrt{2}+5)(3-\sqrt{2})=12\sqrt{2}-4\times 2+15-5\sqrt{2}=7\sqrt{2}+7\).
\(c=\dfrac{7\sqrt{2}+7}{7}=\sqrt{2}+1\).
العبارة من الشكل \(X^{2}-2X+1=(X-1)^{2}\) حيث \(X=5-\sqrt{2}\).
\(a^{2}=\left((5-\sqrt{2})-1\right)^{2}=(4-\sqrt{2})^{2}\).
\(a=\sqrt{a^{2}}=\sqrt{(4-\sqrt{2})^{2}}=\left|4-\sqrt{2}\right|\) لأنّ \(a\) موجب.
و بما أنّ \(4>\sqrt{2}\) فإنّ \(a=4-\sqrt{2}\).
\(b-c=(9-\sqrt{2})-(\sqrt{2}+1)=8-2\sqrt{2}=2(4-\sqrt{2})=2a\).
و بما أنّ \(a>0\) فإنّ \(b-c>0\) ، إذن \(b>c\).
\(b\times c=(9-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)=9\sqrt{2}+9-2-\sqrt{2}=8\sqrt{2}+7\).
\(b^{2}+c^{2}=(b-c)^{2}+2bc=(2a)^{2}+2(8\sqrt{2}+7)=4a^{2}+16\sqrt{2}+14\).
\(4a^{2}=4(18-8\sqrt{2})=72-32\sqrt{2}\).
\(b^{2}+c^{2}=72-32\sqrt{2}+16\sqrt{2}+14=86-16\sqrt{2}\).
\(a-c=(4-\sqrt{2})-(\sqrt{2}+1)=3-2\sqrt{2}\).
\((\sqrt{2}-1)^{2}=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}\) ، إذن \(a-c=(\sqrt{2}-1)^{2}\).
مربّع عدد حقيقي دائما مخالف للصفر موجب قطعا ، إذن \(a-c>0\) أي \(a>c\).
\(c^{2}=(\sqrt{2}+1)^{2}=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}\).
\((a-c)\times c^{2}=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}=9-8=1\).
إذن \((a-c)\) و \(c^{2}\) مقلوبان.
من السؤال 2) أ) لدينا \(b>c>0\) ، ومنه \(b^{2}>c^{2}\).
و \((a-c)>0\) ، فبضرب طرفي المتراجحة في \((a-c)\) : \(b^{2}(a-c)>c^{2}(a-c)\).
و بما أنّ \(c^{2}(a-c)=1\) فإنّ \(b^{2}\times(a-c)>1\).
\(x=c=\sqrt{2}+1\) ومنه \(x^{2}=c^{2}=3+2\sqrt{2}\).
\(E=(3+2\sqrt{2})-10(\sqrt{2}+1)+7+8\sqrt{2}=3+2\sqrt{2}-10\sqrt{2}-10+7+8\sqrt{2}\).
\(E=(3-10+7)+(2-10+8)\sqrt{2}=0\).
\((x-5)^{2}-a^{2}=x^{2}-10x+25-(18-8\sqrt{2})=x^{2}-10x+7+8\sqrt{2}=E\).
\(E=(x-5)^{2}-a^{2}=\left((x-5)-a\right)\left((x-5)+a\right)\).
\((x-5)-a=x-5-(4-\sqrt{2})=x-9+\sqrt{2}=x-(9-\sqrt{2})=x-b\).
\((x-5)+a=x-5+4-\sqrt{2}=x-1-\sqrt{2}=x-(\sqrt{2}+1)=x-c\).
إذن \(E=(x-b)(x-c)\).
\(E=0 \iff x=b\) أو \(x=c\) ، ومنه \(S_{\mathbb{R}}=\left\{9-\sqrt{2}\,;\,\sqrt{2}+1\right\}\).