عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 37
تمرين 37 \(a=1-\left|3\sqrt{5}-7\right|(\sqrt{5}+2)\)

📐 نص التمرين

التمرين الأوّل — ليكن : \(a=1-\left|3\sqrt{5}-7\right|(\sqrt{5}+2)\) و \(b=\dfrac{\left(3\sqrt{20}-\sqrt{125}+1\right)^{2}}{8}\).
1) أ) بيّن أنّ \(a=3-\sqrt{5}\) و \(b=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}\). ⚠️ ملاحظة على السند : عبارة \(a\) كما هي مكتوبة في السند تعطي \(a=2-\sqrt{5}\) و ليس \(3-\sqrt{5}\). و بما أنّ بقيّة التمرين تستوجب \(a\times b=1\) ، فإنّ القيمة المقصودة هي \(a=3-\sqrt{5}\) (لأنّ \(\left(3-\sqrt{5}\right)\times\dfrac{3+\sqrt{5}}{4} =\dfrac{9-5}{4}=1\)) ، و في السند خطأ مطبعي في عبارة \(a\). نعتمد فيما يلي \(a=3-\sqrt{5}\).
1) ب) بيّن أنّ \(a\) و \(b\) مقلوبان ثمّ استنتج علامة \(a\).
2) أ) بيّن أنّ \(a-b=\dfrac{9-5\sqrt{5}}{4}\).
2) ب) قارن \(9\) و \(5\sqrt{5}\) ثمّ استنتج أنّ \(a<b\).
2) ج) بيّن أنّ \(a^{2}<1<b^{2}\).
3) أحسب \((6-a)\) ثمّ استنتج أنّ \(\dfrac{a}{b}\) و \(\sqrt{6a-\dfrac{a}{b}}\) مقلوبان.
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
  • كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.
  • لمقارنة عددين موجبين يكفي مقارنة مربّعيهما ؛ و لإثبات أنّ عددين مقلوبان احسب جداءهما.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

الخطوة 3 : قارن المربّعات إن كان العددان موجبين ، أو ادرس إشارة الفرق ، أو احسب الجداء إن كان السؤال عن المقلوب.

✅ الحل النهائي

نقارن \(3\sqrt{5}\) و \(7\) : \((3\sqrt{5})^{2}=45\) و \(7^{2}=49\) ، و بما أنّ \(45<49\) فإنّ \(3\sqrt{5}<7\).
إذن \(\left|3\sqrt{5}-7\right|=7-3\sqrt{5}\).
\((7-3\sqrt{5})(\sqrt{5}+2)=7\sqrt{5}+14-3\times 5-6\sqrt{5}=\sqrt{5}-1\).
ومنه \(a=1-(\sqrt{5}-1)=2-\sqrt{5}\).
\(3\sqrt{20}=3\times 2\sqrt{5}=6\sqrt{5}\) و \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\) ، إذن \(3\sqrt{20}-\sqrt{125}+1=\sqrt{5}+1\).
\(b=\dfrac{(\sqrt{5}+1)^{2}}{8}=\dfrac{5+2\sqrt{5}+1}{8}=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{8} =\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}\).
\(a\times b=(3-\sqrt{5})\times\dfrac{3+\sqrt{5}}{4} =\dfrac{3^{2}-(\sqrt{5})^{2}}{4}=\dfrac{9-5}{4}=1\).
إذن \(a\) و \(b\) مقلوبان.
\(b=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}>0\) ، و جداء \(a\) و \(b\) يساوي \(1>0\) ، إذن \(a\) موجب قطعا.
\(a-b=(3-\sqrt{5})-\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}=\dfrac{4(3-\sqrt{5})-(3+\sqrt{5})}{4}\).
\(=\dfrac{12-4\sqrt{5}-3-\sqrt{5}}{4}=\dfrac{9-5\sqrt{5}}{4}\).
\(9^{2}=81\) و \((5\sqrt{5})^{2}=25\times 5=125\).
بما أنّ \(81<125\) و العددان موجبان فإنّ \(9<5\sqrt{5}\).
ومنه \(9-5\sqrt{5}<0\) أي \(a-b<0\) ، إذن \(a<b\).
لدينا \(a>0\) و \(b>0\) و \(a<b\) و \(a\,b=1\).
بضرب طرفي \(a<b\) في العدد الموجب \(a\) : \(a^{2}<ab=1\).
بضرب طرفي \(a<b\) في العدد الموجب \(b\) : \(ab<b^{2}\) أي \(1<b^{2}\).
إذن \(a^{2}<1<b^{2}\).
\(6-a=6-(3-\sqrt{5})=3+\sqrt{5}\).
\(\dfrac{a}{b}=a\times\dfrac{1}{b}=a\times a=a^{2}\) لأنّ \(\dfrac{1}{b}=a\).
\(a^{2}=(3-\sqrt{5})^{2}=9-6\sqrt{5}+5=14-6\sqrt{5}\).
\(6a-\dfrac{a}{b}=6a-a^{2}=a(6-a)=(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=9-5=4\).
إذن \(\sqrt{6a-\dfrac{a}{b}}=\sqrt{4}=2\).
و \(\dfrac{a}{b}\times\sqrt{6a-\dfrac{a}{b}}=a^{2}\times 2=2(14-6\sqrt{5})=28-12\sqrt{5}\).
ملاحظة : \(28-12\sqrt{5}\approx 1{,}166\neq 1\) ، فالنتيجة المطلوبة في السند لا تتحقّق بالمعطيات المكتوبة ، و هذا أثر آخر للخطأ المطبعي في عبارة \(a\).