عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 36
تمرين 36 \(6\sqrt{2}\)

📐 نص التمرين

1) أ) قارن العددين \(6\sqrt{2}\) و \(9\).

1) ب) أحسب \((\sqrt{2}+3)^2\) ثمّ استنتج أنّ \(2\sqrt{5}>\sqrt{2}+3\).

2) نعتبر الأعداد الحقيقية : \(a=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\) و \(b=a-1\) و \(c=\left(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-\dfrac{19}{4(1+2\sqrt{5})}\).

أ) بيّن أنّ \(b=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\) و \(c=\dfrac{2+\sqrt{2}-\sqrt{5}}{2}\).

ب) بيّن أنّ \(a\) مقلوب \(b\).

ج) بيّن أنّ \(b>c\).

د) استنتج أنّ \(ac<1\) ثمّ بيّن أنّ \(\sqrt{10}+\sqrt{5}+\sqrt{2}<7\).

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
  • كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.
  • لمقارنة عددين موجبين يكفي مقارنة مربّعيهما ؛ و لإثبات أنّ عددين مقلوبان احسب جداءهما.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

الخطوة 3 : قارن المربّعات إن كان العددان موجبين ، أو ادرس إشارة الفرق ، أو احسب الجداء إن كان السؤال عن المقلوب.

✅ الحل النهائي

\((6\sqrt{2})^2=36\times 2=72\) و \(9^2=81\).
بما أنّ \(72<81\) و العددان موجبان ، فإنّ \(6\sqrt{2}<9\).
\((\sqrt{2}+3)^2=2+6\sqrt{2}+9=11+6\sqrt{2}\).
\((2\sqrt{5})^2=4\times 5=20\).
من السؤال السابق \(6\sqrt{2}<9\) ، ومنه \(11+6\sqrt{2}<11+9=20\).
إذن \((\sqrt{2}+3)^2<(2\sqrt{5})^2\) ، و العددان موجبان ، ومنه \(\sqrt{2}+3<2\sqrt{5}\).
\(b=a-1=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}-1=\dfrac{\sqrt{5}+1-2}{2}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\).
\(\left(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\dfrac{1+2\sqrt{2}+2}{4}=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{4}\).
\(\dfrac{19}{4(1+2\sqrt{5})}=\dfrac{19(2\sqrt{5}-1)}{4(2\sqrt{5}+1)(2\sqrt{5}-1)} =\dfrac{19(2\sqrt{5}-1)}{4(20-1)}=\dfrac{2\sqrt{5}-1}{4}\).
\(c=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{4}-\dfrac{2\sqrt{5}-1}{4} =\dfrac{3+2\sqrt{2}-2\sqrt{5}+1}{4}=\dfrac{4+2\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{4} =\dfrac{2+\sqrt{2}-\sqrt{5}}{2}\).
\(a\times b=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\times\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} =\dfrac{(\sqrt{5})^2-1^2}{4}=\dfrac{5-1}{4}=1\).
إذن \(a\) و \(b\) مقلوبان.
\(b-c=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}-\dfrac{2+\sqrt{2}-\sqrt{5}}{2} =\dfrac{\sqrt{5}-1-2-\sqrt{2}+\sqrt{5}}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}-\sqrt{2}-3}{2}\).
من السؤال 1) ب) لدينا \(2\sqrt{5}>\sqrt{2}+3\) ، أي \(2\sqrt{5}-\sqrt{2}-3>0\).
إذن \(b-c>0\) ومنه \(b>c\).
لدينا \(b>c\) و \(a>0\) ، إذن \(a\times b>a\times c\).
و بما أنّ \(ab=1\) فإنّ \(1>ac\) أي \(ac<1\).
\(ac=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\times\dfrac{2+\sqrt{2}-\sqrt{5}}{2} =\dfrac{(\sqrt{5}+1)(2+\sqrt{2}-\sqrt{5})}{4}<1\)
ومنه \((\sqrt{5}+1)(2+\sqrt{2}-\sqrt{5})<4\).
و بالنشر : \((\sqrt{5}+1)(2+\sqrt{2}-\sqrt{5})=2\sqrt{5}+\sqrt{10}-5+2+\sqrt{2}-\sqrt{5} =\sqrt{10}+\sqrt{5}+\sqrt{2}-3\).
إذن \(\sqrt{10}+\sqrt{5}+\sqrt{2}-3<4\) ، أي \(\sqrt{10}+\sqrt{5}+\sqrt{2}<7\).