عبارات جبريّة — بدون وضعية

تمرين 35 \(I = [-2, 3]\)

📐 نص التمرين

نعتبر المجالين التاليين \(I = [-2, 3]\) و \(J = [-\frac{5}{2}, -1]\).
1) ليكن \(x \in I\) و \(y \in J\). أوجد حصرا لـ \(x + y\) و \(y - x\).
2) أ- بين أن \(0 \le (2x - 1)^2 \le 25\).
ب- استنتج أن \(-\frac{1}{4} \le x^2 - x \le 6\).
3) أ- مثل على المستقيم العددي المجالين \(I\) و \(J\) ثم حدد \(I \cap J\) و \(I \cap \mathbb{N}\).
ب- بين أن \(-\frac{\sqrt{7}}{2} \in I \cap J\).
4) لتكن \(x\) عددا حقيقيا حيث \(-5 < 3x - 5 < -2\).
أ- بين أن \(x \in ]0, 1[\).
ب- لتكن العبارة \(A = |3x - 5| - |x - 4|\). اختصر العبارة \(A\) ثم استنتج أن \(|A| < 1\).

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

انشر بترتيب ، حدّا بحدّ ، ثمّ اجمع الحدود المتشابهة. انتبه لإشارة الطرح أمام قوس.
كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.
لمقارنة عددين موجبين يكفي مقارنة مربّعيهما ؛ و لإثبات أنّ عددين مقلوبان احسب جداءهما.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : انشر باستعمال الجذاءات المعتبرة ثمّ اجمع الحدود من نفس الدرجة.

الخطوة 2 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

الخطوة 3 : قارن المربّعات إن كان العددان موجبين ، أو ادرس إشارة الفرق ، أو احسب الجداء إن كان السؤال عن المقلوب.

✅ الحل النهائي

إصلاح التمرين عدد 6:

1) \(-2 \le x \le 3\) و \(-\frac{5}{2} \le y \le -1\)

\(-2 + \left(-\frac{5}{2}\right) \le x + y \le 3 + (-1) \implies -\frac{9}{2} \le x + y \le 2\)

\(-3 \le -x \le 2 \implies -\frac{5}{2} + (-3) \le y - x \le -1 + 2 \implies -\frac{11}{2} \le y - x \le 1\)

2) أ- \(-2 \le x \le 3 \implies -4 \le 2x \le 6 \implies -5 \le 2x - 1 \le 5\)

إذن \(|2x - 1| \le 5 \implies 0 \le (2x - 1)^2 \le 25\)

ب- \((2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1\)

\(0 \le 4x^2 - 4x + 1 \le 25 \implies -1 \le 4(x^2 - x) \le 24\)

\(-\frac{1}{4} \le x^2 - x \le 6\)

3) أ- \(I \cap J = [-2, -1]\)

\(I \cap \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3\}\)

ب- \(\left(-\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 = \frac{7}{4} = 1.75\)

بما أن \(1 < 1.75 < 4\) فإن \(1 < -\frac{\sqrt{7}}{2} < 2 \implies -2 < -\frac{\sqrt{7}}{2} < -1\)

إذن \(-\frac{\sqrt{7}}{2} \in [-2, -1] = I \cap J\)

4) أ- \(-5 < 3x - 5 < -2 \implies 0 < 3x < 3 \implies 0 < x < 1 \implies x \in ]0, 1[\)

ب- بما أن \(3x - 5 < 0\) فإن \(|3x - 5| = -3x + 5\)

بما أن \(x \in ]0, 1[\) فإن \(x - 4 < 0 \implies |x - 4| = -x + 4\)

\(A = (-3x + 5) - (-x + 4) = -2x + 1\)

\(0 < x < 1 \implies 0 < 2x < 2 \implies -1 < -2x + 1 < 1 \implies |A| < 1\)