عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 34
تمرين 34 . بين أن

📐 نص التمرين

1) نعتبر العدد الحقيقي \(a = \sqrt{3}^{1001} \times \sqrt{3}^{-1000} + \sqrt{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2}\).
بين أن \(a = 2\sqrt{3} - \sqrt{2}\).

2) أوجد كتابة مقامها عدد صحيح للعدد \(\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}\).

3) نعتبر العدد الحقيقي \(b = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} - \sqrt{48} + \sqrt{8}\).
بين أن \(b = \sqrt{2} - 3\sqrt{3}\).
أ- أوجد حصرا مداه \(10^{-1}\) لكل من \(\sqrt{2}\) و \(\sqrt{3}\).
ب- بين أن \(a \in ]1.9, 2.2[\) و \(b \in ]-4, -3.6[\).
ج- استنتج حصرا للعدد \(ab\).

4) نعتبر المتراجحة \(I : ax \le \sqrt{3}a - bx\).
أ- حل في \(\mathbb{R}\) المتراجحة \(I\).
ب- حدد مجموعة حلول المتراجحة \(I\) في المجال \([-3, -2[\).
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
  • كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.
  • لمقارنة عددين موجبين يكفي مقارنة مربّعيهما ؛ و لإثبات أنّ عددين مقلوبان احسب جداءهما.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 2 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

الخطوة 3 : قارن المربّعات إن كان العددان موجبين ، أو ادرس إشارة الفرق ، أو احسب الجداء إن كان السؤال عن المقلوب.

✅ الحل النهائي

إصلاح التمرين عدد 5:
1) \(a = \sqrt{3}^{1001 - 1000} + |\sqrt{2} - \sqrt{3}|\)
بما أن \(\sqrt{2} < \sqrt{3}\) فإن \(|\sqrt{2} - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - \sqrt{2}\)
\(a = \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 2\sqrt{3} - \sqrt{2}\)
2) \(\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}\)
3) \(b = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - \sqrt{16 \times 3} + \sqrt{4 \times 2}\)
\(b = \sqrt{3} - \sqrt{2} - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{2} = -3\sqrt{3} + \sqrt{2}\)
أ- \(1.4 < \sqrt{2} < 1.5\) و \(1.7 < \sqrt{3} < 1.8\)
ب- حصر \(a\):
\(1.7 < \sqrt{3} < 1.8 \implies 3.4 < 2\sqrt{3} < 3.6\)
\(1.4 < \sqrt{2} < 1.5 \implies -1.5 < -\sqrt{2} < -1.4\)
\(3.4 - 1.5 < 2\sqrt{3} - \sqrt{2} < 3.6 - 1.4 \implies 1.9 < a < 2.2\)
إذن \(a \in ]1.9, 2.2[\)
حصر \(b\):
\(1.7 < \sqrt{3} < 1.8 \implies -5.4 < -3\sqrt{3} < -5.1\)
\(1.4 - 5.4 < \sqrt{2} - 3\sqrt{3} < 1.5 - 5.1 \implies -4 < b < -3.6\)
إذن \(b \in ]-4, -3.6[\)
ج- لدينا \(3.6 < -b < 4\) و \(1.9 < a < 2.2\)
\(1.9 \times 3.6 < a(-b) < 2.2 \times 4\)
\(6.84 < -ab < 8.8 \implies -8.8 < ab < -6.84\)
4) أ- \(ax \le \sqrt{3}a - bx \implies ax + bx \le \sqrt{3}a\)
\(x(a + b) \le \sqrt{3}a\)
نحسب \(a + b = (2\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) = -\sqrt{3} < 0\)
\(- \sqrt{3}x \le \sqrt{3}a \implies x \ge \frac{\sqrt{3}a}{-\sqrt{3}}\)
\(x \ge -a \implies S_{\mathbb{R}} = [-a, +\infty[\)
ب- الحصر \(1.9 < a < 2.2\) لا يكفي للفصل ؛ نقارن \(a\) بـ \(2\) :
\(a > 2 \iff 2\sqrt{3} > 2+\sqrt{2} \iff 12 > 6+4\sqrt{2} \iff 36 > 32\) ، وهو صحيح ، إذن \(a > 2\) ومنه \(-a < -2\)
\(S = [-a, +\infty[ \;\cap\; [-3, -2[ \;=\; [-a, -2[ \;=\; [\sqrt{2}-2\sqrt{3}, -2[\)
(السند الأصلي يجيب \(\emptyset\) وهي غلطة : بما أنّ \(a>2\) فإنّ التقاطع غير فارغ)
1) \(a = \sqrt{3}^{1001 - 1000} + |\sqrt{2} - \sqrt{3}|\)
بما أن \(\sqrt{2} < \sqrt{3}\) فإن \(|\sqrt{2} - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - \sqrt{2}\)
\(a = \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 2\sqrt{3} - \sqrt{2}\)
2) \(\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}\)
3) \(b = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - \sqrt{16 \times 3} + \sqrt{4 \times 2}\)
\(b = \sqrt{3} - \sqrt{2} - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{2} = -3\sqrt{3} + \sqrt{2}\)
أ- \(1.4 < \sqrt{2} < 1.5\) و \(1.7 < \sqrt{3} < 1.8\)
ب- حصر \(a\):
\(1.7 < \sqrt{3} < 1.8 \implies 3.4 < 2\sqrt{3} < 3.6\)
\(1.4 < \sqrt{2} < 1.5 \implies -1.5 < -\sqrt{2} < -1.4\)
\(3.4 - 1.5 < 2\sqrt{3} - \sqrt{2} < 3.6 - 1.4 \implies 1.9 < a < 2.2\)
إذن \(a \in ]1.9, 2.2[\)
حصر \(b\):
\(1.7 < \sqrt{3} < 1.8 \implies -5.4 < -3\sqrt{3} < -5.1\)
\(1.4 - 5.4 < \sqrt{2} - 3\sqrt{3} < 1.5 - 5.1 \implies -4 < b < -3.6\)
إذن \(b \in ]-4, -3.6[\)
ج- لدينا \(3.6 < -b < 4\) و \(1.9 < a < 2.2\)
\(1.9 \times 3.6 < a(-b) < 2.2 \times 4\)
\(6.84 < -ab < 8.8 \implies -8.8 < ab < -6.84\)
4) أ- \(ax \le \sqrt{3}a - bx \implies ax + bx \le \sqrt{3}a\)
\(x(a + b) \le \sqrt{3}a\)
نحسب \(a + b = (2\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) = -\sqrt{3} < 0\)
\(- \sqrt{3}x \le \sqrt{3}a \implies x \ge \frac{\sqrt{3}a}{-\sqrt{3}}\)
\(x \ge -a \implies S_{\mathbb{R}} = [-a, +\infty[\)
ب- الحصر \(1.9 < a < 2.2\) لا يكفي للفصل ؛ نقارن \(a\) بـ \(2\) :
\(a > 2 \iff 2\sqrt{3} > 2+\sqrt{2} \iff 12 > 6+4\sqrt{2} \iff 36 > 32\) ، وهو صحيح ، إذن \(a > 2\) ومنه \(-a < -2\)
\(S = [-a, +\infty[ \;\cap\; [-3, -2[ \;=\; [-a, -2[ \;=\; [\sqrt{2}-2\sqrt{3}, -2[\)
(السند الأصلي يجيب \(\emptyset\) وهي غلطة : بما أنّ \(a>2\) فإنّ التقاطع غير فارغ)