عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 33
تمرين 33 \(E = x^2 - 4x - 5\)

📐 نص التمرين

لتكن العبارتين \(E = x^2 - 4x - 5\) و \(F = (2x - 1)^2 - (x + 4)^2\) حيث \(x\) عدد حقيقي
(1) أحسب القيمة العددية للعبارة \(E\) في حالة \(x = 1 + \sqrt{2}\)
(2)
أ) بين أن \(E = (x - 2)^2 - 9\) ثم استنتج أن \(E = (x - 5)(x + 1)\)
ب) حل في \(\mathbb{R}\) المعادلة \(E = 0\)
(3)
أ) بين أن \(F = (3x + 3)(x - 5)\)
ب) أنشر و اختصر العبارة \(F\)
ج) تحقق أن \(E + 2F = (x - 5)(7x + 7)\)
د) أوجد العدد الحقيقي \(x\) إذا علمت أن \(E = -2F\)
(4) لتكن العبارة \(G = x^2 - 10x + 25\)
فكك العبارة \(G\) ثم العبارة الحرفية \(E + G\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
  • ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
  • لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
  • انشر بترتيب ، حدّا بحدّ ، ثمّ اجمع الحدود المتشابهة. انتبه لإشارة الطرح أمام قوس.
  • كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 4 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 5 : انشر باستعمال الجذاءات المعتبرة ثمّ اجمع الحدود من نفس الدرجة.

الخطوة 6 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

✅ الحل النهائي

إصلاح التمرين عدد 4:

(1)

نعوض \(x\) بـ \(1 + \sqrt{2}\) في \(E\):
\(E = (1 + \sqrt{2})^2 - 4(1 + \sqrt{2}) - 5\)
\(= (1^2 + 2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) - 4 - 4\sqrt{2} - 5\)
\(= 1 + 2\sqrt{2} + 2 - 4 - 4\sqrt{2} - 5\)
\(= (1 + 2 - 4 - 5) + (2\sqrt{2} - 4\sqrt{2})\)
\(= -6 - 2\sqrt{2}\)

(2) أ)

\((x - 2)^2 - 9 = x^2 - 4x + 4 - 9\)
\(= x^2 - 4x - 5 = E\)
استنتاج التفكيك:
\(E = (x - 2)^2 - 3^2\)
\(= [(x - 2) - 3][(x - 2) + 3]\)
\(= (x - 5)(x + 1)\)

(2) ب)

\(E = 0 \iff (x - 5)(x + 1) = 0\)
يعني \(x - 5 = 0\) أو \(x + 1 = 0\)
يعني \(x = 5\) أو \(x = -1\)
\(S_{\mathbb{R}} = \{-1, 5\}\)

(3) أ)

\(F = (2x - 1)^2 - (x + 4)^2\)
\(= [(2x - 1) - (x + 4)][(2x - 1) + (x + 4)]\)
\(= (2x - 1 - x - 4)(2x - 1 + x + 4)\)
\(= (x - 5)(3x + 3)\)

(3) ب)

\(F = (x - 5)(3x + 3)\)
\(= 3x^2 + 3x - 15x - 15\)
\(= 3x^2 - 12x - 15\)

(3) ج)

\(E + 2F = (x - 5)(x + 1) + 2(x - 5)(3x + 3)\)
\(= (x - 5)[(x + 1) + 2(3x + 3)]\)
\(= (x - 5)(x + 1 + 6x + 6)\)
\(= (x - 5)(7x + 7)\)

(3) د)

\(E = -2F \iff E + 2F = 0\)
\((x - 5)(7x + 7) = 0\)
يعني \(x - 5 = 0\) أو \(7x + 7 = 0\)
يعني \(x = 5\) أو \(x = -1\)

(4)

تفكيك العبارة \(G\):
\(G = x^2 - 10x + 25 = x^2 - 2 \times x \times 5 + 5^2 = (x - 5)^2\)
تفكيك العبارة \(E + G\):
\(E + G = (x - 5)(x + 1) + (x - 5)^2\)
\(= (x - 5)[(x + 1) + (x - 5)]\)
\(= (x - 5)(2x - 4)\)
\(= 2(x - 5)(x - 2)\)
إصلاح التمرين عدد 4: