عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 32
تمرين 32 \(A = 4x^2 + 4x - 3\)

📐 نص التمرين

لتكن العبارتين \(A = 4x^2 + 4x - 3\) و \(B = 4x^2 - 1\) حيث \(x\) عدد حقيقي
(1)
أ) بين أن \(A = (2x + 1)^2 - 4\) ثم استنتج أن \(A = (2x - 1)(2x + 3)\)
ب) حل في \(\mathbb{R}\) المعادلة \(A = 0\)
(2)
أ) أنشر و اختصر \((2x + 1)(1 - 2x)\)
ب) تحقق أن \(A + B = (2x - 1)(4x + 4)\)
ج) أوجد العدد الحقيقي \(x\) إذا علمت أن \(A\) و \(B\) متقابلان .
(3) لتكن العبارة \(C = (5x - 3)^2 - (x - 3)^2\) حيث \(x\) عدد حقيقي
أ) أنشر و اختصر العبارة \(C\)
ب) فكك العبارة \(C\) إلى جذاء
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
  • ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
  • لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
  • انشر بترتيب ، حدّا بحدّ ، ثمّ اجمع الحدود المتشابهة. انتبه لإشارة الطرح أمام قوس.
  • كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 2 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 3 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 4 : انشر باستعمال الجذاءات المعتبرة ثمّ اجمع الحدود من نفس الدرجة.

الخطوة 5 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

✅ الحل النهائي

إصلاح التمرين عدد 3:

(1) أ)

\((2x + 1)^2 - 4 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 1 + 1^2 - 4\)
\(= 4x^2 + 4x + 1 - 4\)
\(= 4x^2 + 4x - 3 = A\)
استنتاج التفكيك:
\(A = (2x + 1)^2 - 2^2\)
\(A = [(2x + 1) - 2][(2x + 1) + 2]\)
\(A = (2x - 1)(2x + 3)\)

(1) ب)

\(A = 0 \iff (2x - 1)(2x + 3) = 0\)
يعني \(2x - 1 = 0\) أو \(2x + 3 = 0\)
يعني \(2x = 1\) أو \(2x = -3\)
يعني \(x = \frac{1}{2}\) أو \(x = -\frac{3}{2}\)
\(S_{\mathbb{R}} = \left\{-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right\}\)

(2) أ)

\((2x + 1)(1 - 2x) = (1 + 2x)(1 - 2x)\)
\(= 1^2 - (2x)^2\)
\(= 1 - 4x^2\)

(2) ب)

\(A + B = (2x - 1)(2x + 3) + (4x^2 - 1)\)
نعلم أن \(B = 4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)\)
\(A + B = (2x - 1)(2x + 3) + (2x - 1)(2x + 1)\)
\(= (2x - 1)[(2x + 3) + (2x + 1)]\)
\(= (2x - 1)(2x + 3 + 2x + 1)\)
\(= (2x - 1)(4x + 4)\)

(2) ج)

\(A\) و \(B\) متقابلان يعني \(A + B = 0\)
\((2x - 1)(4x + 4) = 0\)
يعني \(2x - 1 = 0\) أو \(4x + 4 = 0\)
يعني \(x = \frac{1}{2}\) أو \(x = -1\)

(3) أ)

\(C = (5x - 3)^2 - (x - 3)^2\)
\(= (25x^2 - 30x + 9) - (x^2 - 6x + 9)\)
\(= 25x^2 - 30x + 9 - x^2 + 6x - 9\)
\(= 24x^2 - 24x\)

(3) ب)

\(C = [(5x - 3) - (x - 3)][(5x - 3) + (x - 3)]\)
\(= (5x - 3 - x + 3)(5x - 3 + x - 3)\)
\(= (4x)(6x - 6)\)
\(= 4x \times 6(x - 1)\)
\(= 24x(x - 1)\)
إصلاح التمرين عدد 3: