عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 31
تمرين 31 \(P=3x^{2}+6x+5\)

📐 نص التمرين

نعتبر العبارتين التاليتين : \(P=3x^{2}+6x+5\) و \(Q=(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})+2(x^{2}-\sqrt{3}+4)\) حيث \(x\) عدد حقيقي

  1. أوجد القيمة العددية في كل حالة من الحالات التالية : \(x=0\) و \(x=\frac{2}{3}\) و \(x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
  2. أ- بين أن \(Q=3x^{2}+5-2\sqrt{3}\)
    ب- بين أن \(P-Q=6x+2\sqrt{3}\) في حالة \(x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
    ج- هل أن \(P=Q\) ، مهما تكن القيمة العددية لـ \(x\) ؟ علل جوابك .
  3. أ- بين أن \(P=x^{2}+(x+1)^{2}+(x+2)^{2}\)
    ب- استنتج باقي القسمة الإقليدية لمجموع مربعات ثلاثة أعداد صحيحة طبيعية متتالية على 3
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
  • كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

✅ الحل النهائي

  1. عند \(x=0\) : \(P = 5\). عند \(x=\frac{2}{3}\) : \(P = 3(\frac{4}{9}) + 6(\frac{2}{3}) + 5 = \frac{4}{3} + 4 + 5 = \frac{31}{3}\).
  2. أ- \(Q = (x^2 - 3) + 2x^2 - 2\sqrt{3} + 8 = 3x^2 + 5 - 2\sqrt{3}\)
    ب- \(P - Q = (3x^2+6x+5) - (3x^2+5-2\sqrt{3}) = 6x + 2\sqrt{3}\). عند \(x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) : \(6(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + 2\sqrt{3} = -2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 0\).
    ج- لا، لأن \(P - Q = 6x + 2\sqrt{3}\) وهي عبارة تتغير بتغير \(x\) وليست تساوي صفر دائماً.
  3. أ- \(x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2 = x^2 + (x^2+2x+1) + (x^2+4x+4) = 3x^2 + 6x + 5 = P\)
    ب- \(P = 3(x^2 + 2x + 1) + 2 = 3(x+1)^2 + 2\). إذن باقي القسمة الإقليدية لمجموع مربعات 3 أعداد متتالية على 3 هو دائماً \(2\).