عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 30
تمرين 30 \(E=(2x-1)^{2}+(2x+1)^{2}+(2x+3)^{2}\)

📐 نص التمرين

نعتبر العبارتين التاليتين : \(E=(2x-1)^{2}+(2x+1)^{2}+(2x+3)^{2}\) و \(F=x^{2}+x-6\) حيث \(x\) عدد حقيقي

  1. أ- بين أن \(E=12x^{2}+12x+11\)
    ب- احسب \(E\) في حالة \(x=3\)
  2. أ- بين أن \(F=(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{25}{4}\)
    ب- استنتج تفكيكا للعبارة \(F\)
  3. أ- بين أن \(E-83=12F\)
    ب- استنتج 3 أعداد صحيحة طبيعية فردية متتالية مجموع مربعاتها 83
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
  • ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
  • كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 4 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

✅ الحل النهائي

  1. أ- \(E = (4x^2-4x+1) + (4x^2+4x+1) + (4x^2+12x+9) = 12x^2 + 12x + 11\)
    ب- عند \(x=3\) : \(E = 12(9) + 12(3) + 11 = 108 + 36 + 11 = 155\)
  2. أ- \((x+\frac{1}{2})^2 - \frac{25}{4} = x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{25}{4} = x^2 + x - 6 = F\)
    ب- \(F = (x+\frac{1}{2}-\frac{5}{2})(x+\frac{1}{2}+\frac{5}{2}) = (x-2)(x+3)\)
  3. أ- \(E - 83 = 12x^2 + 12x - 72 = 12(x^2 + x - 6) = 12F\)
    ب- مجموع مربعات ثلاثة أعداد فردية متتالية هو من الشكل \(E\).
    \(E = 83 \iff E - 83 = 0 \iff 12F = 0 \iff F = 0 \iff (x-2)(x+3) = 0\).
    بما أن الأعداد طبيعية، نأخذ \(x = 2\).
    الأعداد هي : \(2x-1 = 3\)، و \(2x+1 = 5\)، و \(2x+3 = 7\). (تثبت: \(3^2+5^2+7^2 = 9+25+49 = 83\)).