عبارات جبريّة — بدون وضعية

تمرين 28 \(A=x^{2}-6x-7\)

نعتبر العبارة : \(A=x^{2}-6x-7\) حيث \(x\) عدد حقيقي

أ- احسب \(A\) في كل من الحالتين : \(x=-1\) و \(x=\sqrt{7}\)
ب- بين أن \(A=(x-3)^{2}-16\)
ج- استنتج تفكيكا إلى جذاء عوامل للعبارة \(A\)
د- أوجد العدد الحقيقي \(x\) بحيث \(A=0\)
لتكن العبارة : \(B=(x+2)^{2}-(x+1)^{2}\)
أ- بين أن \(B=2x+3\)
ب- أوجد عددين صحيحين طبيعيين متتاليين \(m\) و \(n\) بحيث \(m^{2}-n^{2}=2003\)

لم تبدأ بعد

قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 4 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 5 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

أ- عند \(x=-1\) : \(A = 1 + 6 - 7 = 0\)
ب- \((x-3)^2 - 16 = x^2 - 6x + 9 - 16 = x^2 - 6x - 7 = A\)
ج- \(A = (x-3-4)(x-3+4) = (x-7)(x+1)\)
د- \(A=0 \iff x=7\) أو \(x=-1\)
أ- \(B = (x^2+4x+4) - (x^2+2x+1) = 2x+3\)
ب- نضع \(m = x+2\) و \(n = x+1\) عددين متتاليين. \(m^2 - n^2 = 2x+3 = 2003 \implies 2x = 2000 \implies x = 1000\).
إذن \(n = 1001\) و \(m = 1002\).