عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 25

تمرين 25 \(x-y=2\sqrt{3}\)

📐 نص التمرين

إذا علمت أن \(x-y=2\sqrt{3}\) و \(xy=-2\)، احسب \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\) و \(x^{2}+y^{2}\)
بين أنه مهما يكن العدد الحقيقي \(x\) المخالف لـ \(1-\) فإن :
\((\frac{x+2}{x+1})^{2}-\frac{2x+4}{x+1}+1=\frac{1}{x^{2}+2x+1}\)

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

✅ الحل النهائي

نعلم أن \((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \implies (2\sqrt{3})^2 = x^2 - 2(-2) + y^2 \implies 12 = x^2 + 4 + y^2 \implies x^2+y^2 = 8\). \[\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2 = \frac{x^2+y^2-2xy}{xy} = \frac{(x-y)^2}{xy} = \frac{12}{-2} = -6\]
نضع \(t = \frac{x+2}{x+1}\)، العبارة تصبح : \[t^2 - 2t + 1 = (t-1)^2 = \left(\frac{x+2}{x+1} - 1\right)^2 = \left(\frac{x+2-(x+1)}{x+1}\right)^2 = \left(\frac{1}{x+1}\right)^2 = \frac{1}{x^2+2x+1}\]