عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 24
تمرين 24 \(a\) و \(b\)

📐 نص التمرين

ليكن \(a\) و \(b\) عددين حقيقيين حيث \(a>b\)

  1. برهن أن : \(\frac{ab}{a-b} \ge -\frac{a-b}{4}\)
  2. استنتج أنه إذا كان \(a-b=2\) فإن \(ab \ge -1\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

✅ الحل النهائي

  1. نحسب الفرق : \[\frac{ab}{a-b} - \left(-\frac{a-b}{4}\right) = \frac{ab}{a-b} + \frac{a-b}{4} = \frac{4ab + (a-b)^2}{4(a-b)} = \frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{4(a-b)} = \frac{(a+b)^2}{4(a-b)}\] بما أن \((a+b)^2 \ge 0\) و \(a-b > 0\) فإن هذا الفرق موجب أو يساوي صفر، بالتالي : \(\frac{ab}{a-b} \ge -\frac{a-b}{4}\).
  2. إذا كان \(a-b=2\)، بنعويض ذلك في المتفاوتة : \[\frac{ab}{2} \ge -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \implies ab \ge -1\]