عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 23
تمرين 23 \(A=\frac{1}{3}(3x-2)+2x-\frac{7}{3}\)

📐 نص التمرين

نعتبر العبارة : \(A=\frac{1}{3}(3x-2)+2x-\frac{7}{3}\) حيث \(x\) عدد حقيقي .

  1. احسب القيمة العددية للعبارة \(A\) في حالة \(x=\frac{2}{3}\)
  2. بين أن \(A=3x-3\)
  3. لتكن العبارة \(B=x^{2}-(1+\sqrt{2})x+\sqrt{2}\) حيث \(x\) عدد حقيقي .
    أ- احسب القيمة العددية للعبارة \(B\) في حالة \(x=\sqrt{2}\)
    ب- بين أن \(B=(x-1)(x-\sqrt{2})\)
  4. أ- بين أن \(B-A=(x-1)(x-\sqrt{2}-3)\)
    ب- أوجد الأعداد الحقيقية \(x\) بحيث \(A=B\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

✅ الحل النهائي

  1. عند \(x=\frac{2}{3}\) : \(A = \frac{1}{3}(0) + 2\left(\frac{2}{3}\right) - \frac{7}{3} = \frac{4}{3} - \frac{7}{3} = -1\)
  2. \(A = x - \frac{2}{3} + 2x - \frac{7}{3} = 3x - \frac{9}{3} = 3x - 3\)
  3. أ- عند \(x=\sqrt{2}\) : \(B = (\sqrt{2})^2 - (1+\sqrt{2})\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 - \sqrt{2} - 2 + \sqrt{2} = 0\)
    ب- \((x-1)(x-\sqrt{2}) = x^2 - \sqrt{2}x - x + \sqrt{2} = x^2 - (1+\sqrt{2})x + \sqrt{2} = B\)
  4. أ- \(B-A = (x-1)(x-\sqrt{2}) - 3(x-1) = (x-1)[(x-\sqrt{2})-3] = (x-1)(x-\sqrt{2}-3)\)
    ب- \(A=B \iff B-A=0 \iff (x-1)(x-\sqrt{2}-3)=0 \iff x=1 \text{ أو } x=3+\sqrt{2}\)