عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 22
تمرين 22 \(x\) عدد حقيقي أ- بين أن \(P=7+4\sqrt{3}\)

📐 نص التمرين

نعتبر العبارة : \(P=(x+\sqrt{3})^{2}+2(2x-x\sqrt{3}+\frac{1}{2})\) حيث \(x\) عدد حقيقي

  1. أ- بين أن \(P=7+4\sqrt{3}\) في حالة \(x=\sqrt{3}\)
    ب- أكتب \(P\) في صيغة \((a+b)^{2}\) في هذه الحالة حيث \(a\) و \(b\) عددان حقيقيان
  2. بين أن \(P=x^{2}+4x+4\)
  3. فكك العبارة \(P\) إلى جذاء عوامل
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
  • ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 2 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

✅ الحل النهائي

  1. أ- عند \(x=\sqrt{3}\) : \[P = (\sqrt{3}+\sqrt{3})^2 + 2(2\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2 + \frac{1}{2}) = (2\sqrt{3})^2 + 2(2\sqrt{3} - 3 + \frac{1}{2}) = 12 + 4\sqrt{3} - 5 = 7 + 4\sqrt{3}\] ب- \(7+4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2\)
  2. تبيين أن \(P=x^2+4x+4\) : \[P = x^2 + 2x\sqrt{3} + 3 + 4x - 2x\sqrt{3} + 1 = x^2 + 4x + 4\]
  3. تفكيك \(P\) : \[P = (x+2)^2\]