عبارات جبريّة — بدون وضعية

تمرين 21 \(A=x^{2}-3x\)

لتكن العبارات التالية : \(A=x^{2}-3x\) و \(B=x^{2}-9\) و \(C=3A-2B\) و \(D=x^{2}+2x\sqrt{3}+3-(2x-\sqrt{3})^{2}\)

اكتب العبارات السابقة في صيغة جذاء
أ- أوجد \(x\) في حالة \(A=0\)
ب- أوجد \(x\) في حالة \(A=B\)
ج- أوجد \(x\) في حالة \(A=D\)

لم تبدأ بعد

لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.

الخطوة 1 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 2 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 3 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

تفكيك العبارات :
- \(A = x(x-3)\)
- \(B = (x-3)(x+3)\)
- \(C = 3x(x-3) - 2(x-3)(x+3) = (x-3)[3x - 2(x+3)] = (x-3)(x-6)\)
- \(D = (x+\sqrt{3})^2 - (2x-\sqrt{3})^2 = [(x+\sqrt{3})-(2x-\sqrt{3})][(x+\sqrt{3})+(2x-\sqrt{3})] = (-x+2\sqrt{3})(3x) = 3x(2\sqrt{3}-x)\)
أ- \(A=0 \iff x=0 \text{ أو } x=3\)
ب- \(A=B \iff A-B=0 \iff x(x-3)-(x-3)(x+3)=0 \iff (x-3)(x-(x+3))=0 \iff -3(x-3)=0 \iff x=3\)
ج- \(A=D \iff x(x-3) = 3x(2\sqrt{3}-x) \iff x[(x-3) - 3(2\sqrt{3}-x)] = 0 \iff x(4x - 3 - 6\sqrt{3}) = 0 \iff x=0 \text{ أو } x=\frac{3+6\sqrt{3}}{4}\)