عبارات جبريّة — بدون وضعية

تمرين 20 \(F=(12x^{2}-3)(x+3)+(x^{2}-9)(2x-1)\)

نعتبر العبارة : \(F=(12x^{2}-3)(x+3)+(x^{2}-9)(2x-1)\) حيث \(x\) عدد حقيقي

لم تبدأ بعد

قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
انشر بترتيب ، حدّا بحدّ ، ثمّ اجمع الحدود المتشابهة. انتبه لإشارة الطرح أمام قوس.

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 4 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 5 : انشر باستعمال الجذاءات المعتبرة ثمّ اجمع الحدود من نفس الدرجة.

نشر واختصار \(F\) : \[F = (12x^3 + 36x^2 - 3x - 9) + (2x^3 - x^2 - 18x + 9) = 14x^3 + 35x^2 - 21x\]
حساب \(F\) :
- عند \(x=0\) : \(F=0\)
- عند \(x=-3\) : \(F = (-3+3)... = 0\) (لأن العاملين يحتويان على \((x+3)\))
- عند \(x=\frac{1}{2}\) : \(12x^2-3 = 12(\frac{1}{4})-3 = 0 \implies F = 0\)
تفكيك \(F\) :
\(12x^2-3 = 3(4x^2-1) = 3(2x-1)(2x+1)\)

\(x^2-9 = (x-3)(x+3)\)
\[F = 3(2x-1)(2x+1)(x+3) + (x-3)(x+3)(2x-1) = (2x-1)(x+3)[3(2x+1) + (x-3)]\] \[F = (2x-1)(x+3)(6x+3+x-3) = 7x(2x-1)(x+3)\]
\(F=0 \iff x=0 \text{ أو } x=\frac{1}{2} \text{ أو } x=-3\)