عبارات جبريّة — بدون وضعية

تمرين 19 \(A=-8x^{2}+6x-1\)

نعتبر العبارة : \(A=-8x^{2}+6x-1\) حيث \(x\) عدد حقيقي

احسب \(A\) في حالة \(x=-\frac{\sqrt{2}}{4}\)
أ- بين أن \(x^{2}-A=(3x-1)^{2}\)
ب- استنتج أن \(A=(-2x+1)(4x-1)\)
لتكن العبارة : \(B=A-4x^{2}+2x\)
أ- أثبت أن \(B=(-2x+1)(6x-1)\)
ب- أوجد العدد الحقيقي \(x\) بحيث \(A=4x^{2}-2x\)

لم تبدأ بعد

قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 4 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

حساب \(A\) عند \(x=-\frac{\sqrt{2}}{4}\) : \[A = -8\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 + 6\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) - 1 = -8\left(\frac{2}{16}\right) - \frac{6\sqrt{2}}{4} - 1 = -1 - \frac{3\sqrt{2}}{2} - 1 = -2 - \frac{3\sqrt{2}}{2}\]
أ- \(x^2 - A = x^2 - (-8x^2+6x-1) = 9x^2 - 6x + 1 = (3x-1)^2\)
ب- \(A = x^2 - (3x-1)^2 = (x - (3x-1))(x + (3x-1)) = (-2x+1)(4x-1)\)
أ- \(B = (-2x+1)(4x-1) + 2x(-2x+1) = (-2x+1)[(4x-1)+2x] = (-2x+1)(6x-1)\)
ب- \(A=4x^2-2x \iff A-4x^2+2x=0 \iff B=0 \iff (-2x+1)(6x-1)=0 \iff x=\frac{1}{2} \text{ أو } x=\frac{1}{6}\)