عبارات جبريّة — بدون وضعية

تمرين 18 \(M=x^{2}-5x+4\)

نعتبر العبارة : \(M=x^{2}-5x+4\) حيث \(x\) عدد حقيقي

احسب \(M\) في حالة \(x=\sqrt{3}\)
بين أن \(M=(x-1)(x-4)\)
استنتج أن \(7-5\sqrt{3}\) عدد سالب
نعتبر العبارة \(N=x^{2}-1\)
أ- فكك \(N\) إلى جذاء عوامل
ب- بين أن \(M+N=(x-1)(2x-3)\)
ج- أوجد \(x\) بحيث \(M\) و \(N\) متقابلان

لم تبدأ بعد

قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 4 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 5 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

حساب \(M\) عند \(x=\sqrt{3}\) : \[M = (\sqrt{3})^2 - 5\sqrt{3} + 4 = 3 - 5\sqrt{3} + 4 = 7 - 5\sqrt{3}\]
\((x-1)(x-4) = x^2 - 4x - x + 4 = x^2 - 5x + 4 = M\)
عند \(x=\sqrt{3}\) لدينا \(1 < \sqrt{3} < 4\)، أي أن \(\sqrt{3}-1 > 0\) و \(\sqrt{3}-4 < 0\). جذاؤهما سالب، إذن \(M = 7-5\sqrt{3} < 0\).
أ- \(N = (x-1)(x+1)\)
ب- \(M+N = (x-1)(x-4) + (x-1)(x+1) = (x-1)[(x-4)+(x+1)] = (x-1)(2x-3)\)
ج- \(M\) و \(N\) متقابلان يعني \(M+N=0 \iff (x-1)(2x-3)=0 \iff x=1 \text{ أو } x=\frac{3}{2}\)