عبارات جبريّة — بدون وضعية

تمرين 17 \(A=x^{2}+4x+4\)

نعتبر العبارة : \(A=x^{2}+4x+4\) حيث \(x\) عدد حقيقي

أ- احسب القيمة العددية لـ \(A\) في كل من الحالتين : \(x=\sqrt{2}\) و \(x=-2\)
ب- فكك العبارة \(A\) إلى جذاء عوامل
لتكن العبارة : \(B=x^{2}+4x-5\)
أ- بين أن \(B=(x+2)^{2}-9\)
ب- استنتج أن \(B=(x-1)(x+5)\)
ج- أوجد \(x\) بحيث \(B=0\)
د- أوجد \(x\) بحيث \(\sqrt{A}=5\)

لم تبدأ بعد

قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 4 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 5 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

أ- عند \(x=\sqrt{2}\) : \(A = 2 + 4\sqrt{2} + 4 = 6 + 4\sqrt{2}\)
عند \(x=-2\) : \(A = (-2)^2 + 4(-2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0\)
ب- \(A = (x+2)^2\)
أ- \((x+2)^2 - 9 = x^2 + 4x + 4 - 9 = x^2 + 4x - 5 = B\)
ب- \(B = (x+2)^2 - 3^2 = ((x+2)-3)((x+2)+3) = (x-1)(x+5)\)
ج- \(B=0 \iff x=1 \text{ أو } x=-5\)
د- \(\sqrt{A}=5 \iff \sqrt{(x+2)^2}=5 \iff |x+2|=5 \iff x+2=5 \text{ أو } x+2=-5 \iff x=3 \text{ أو } x=-7\)