عبارات جبريّة — بدون وضعية

تمرين 16 \(A=(x+2)^{2}-25\)

نعتبر العبارتين التاليتين : \(A=(x+2)^{2}-25\) و \(B=(x+7)^{2}-(x+7)(x-1)\)

انشر و اختصر العبارة \(A\)
احسب \(A\) إذا علمت أن \(x=\sqrt{2}-1\)
أ- فكك العبارتين \(A\) و \(B\) إلى جذاء عوامل
ب- بين أن \(A+B=(x+7)(x+5)\)
ج- أوجد \(x\) بحيث \(A+B=0\)

لم تبدأ بعد

قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
انشر بترتيب ، حدّا بحدّ ، ثمّ اجمع الحدود المتشابهة. انتبه لإشارة الطرح أمام قوس.

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 4 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 5 : انشر باستعمال الجذاءات المعتبرة ثمّ اجمع الحدود من نفس الدرجة.

نشر واختصار \(A\) : \[A = x^2 + 4x + 4 - 25 = x^2 + 4x - 21\]
حساب \(A\) عند \(x=\sqrt{2}-1\) : \[A = (\sqrt{2}-1)^2 + 4(\sqrt{2}-1) - 21 = (2-2\sqrt{2}+1) + 4\sqrt{2} - 4 - 21 = -22 + 2\sqrt{2}\]
أ- تفكيك \(A\) و \(B\) : \[A = ((x+2)-5)((x+2)+5) = (x-3)(x+7)\] \[B = (x+7)[(x+7)-(x-1)] = (x+7)(8) = 8(x+7)\] ب- \(A+B = (x-3)(x+7) + 8(x+7) = (x+7)(x-3+8) = (x+7)(x+5)\)
ج- \(A+B=0 \iff (x+7)(x+5)=0 \iff x=-7 \text{ أو } x=-5\)