عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 15
تمرين 15 \(E=9x^{2}-36x+35\)

📐 نص التمرين

نعتبر العبارة : \(E=9x^{2}-36x+35\) حيث \(x\) عدد حقيقي

  1. احسب العبارة \(E\) إذا كان \(x=-\sqrt{2}\)
  2. أ- بين أن \(E+6x-10=(3x-5)^{2}\)
    ب- بين أن \(E=(3x-5)(3x-7)\)
    ج- جد الأعداد الحقيقية التي تحقق : \(9x^{2}-36x+35=0\)
  3. لتكن العبارة : \(F=9x^{2}-49+E\) حيث \(x\) عدد حقيقي. جد \(x\) بحيث \(E=F\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

✅ الحل النهائي

  1. حساب \(E\) عند \(x=-\sqrt{2}\) : \[E = 9(-\sqrt{2})^2 - 36(-\sqrt{2}) + 35 = 9(2) + 36\sqrt{2} + 35 = 53 + 36\sqrt{2}\]
  2. أ- \(E+6x-10 = 9x^2 - 30x + 25 = (3x-5)^2\)
    ب- \(E = (3x-5)^2 - 6x + 10 = (3x-5)^2 - 2(3x-5) = (3x-5)(3x-5-2) = (3x-5)(3x-7)\)
    ج- \(E=0 \iff (3x-5)(3x-7)=0 \iff x=\frac{5}{3} \text{ أو } x=\frac{7}{3}\)
  3. \(E=F \iff E = 9x^2-49+E \iff 9x^2-49=0 \iff (3x-7)(3x+7)=0 \iff x=\frac{7}{3} \text{ أو } x=-\frac{7}{3}\)