عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 14
تمرين 14 \(A=x^{2}-7x+10\)

📐 نص التمرين

نعتبر العبارتين : \(A=x^{2}-7x+10\) و \(B=x^{2}-10x+25\) حيث \(x\) عدد حقيقي

  1. احسب \(A\) إذا كان \(x=\sqrt{2}+1\)
  2. فكك \(B\) إلى جذاء عوامل
  3. بين أن : \(A-B=3(x-5)\)
  4. استنتج تفكيكا للعبارة \(A\) ثم للعبارة \(A+B\)
  5. جد \(x\) في حالة \(A\) و \(B\) متقابلان
  6. ليكن \(x \ge 5\) احسب \(|A+B|\) بدلالة \(x\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
  • ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
  • كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 4 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

✅ الحل النهائي

  1. حساب \(A\) عند \(x=\sqrt{2}+1\) : \[A = (\sqrt{2}+1)^2 - 7(\sqrt{2}+1) + 10 = (2+2\sqrt{2}+1) - 7\sqrt{2} - 7 + 10 = 6 - 5\sqrt{2}\]
  2. تفكيك \(B\) : \[B = (x-5)^2\]
  3. تبيين أن \(A-B=3(x-5)\) : \[A-B = (x^2-7x+10) - (x^2-10x+25) = 3x - 15 = 3(x-5)\]
  4. تفكيك \(A\) و \(A+B\) :

    بما أن \(A = B + 3(x-5) = (x-5)^2 + 3(x-5) = (x-5)(x-5+3) = (x-5)(x-2)\)

    \[A+B = (x-5)(x-2) + (x-5)^2 = (x-5)[(x-2)+(x-5)] = (x-5)(2x-7)\]
  5. \(A\) و \(B\) متقابلان يعني \(A+B=0\) : \[(x-5)(2x-7)=0 \iff x=5 \text{ أو } x=\frac{7}{2}\]
  6. إذا كان \(x \ge 5\) فإن \(x-5 \ge 0\) و \(2x-7 > 0\) إذن \(A+B \ge 0\) : \[|A+B| = A+B = (x-5)(2x-7) = 2x^2 - 17x + 35\]