عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 13
تمرين 13 \(A=(2x-1)^{2}-(x+3)^{2}\)

📐 نص التمرين

نعتبر العبارة : \(A=(2x-1)^{2}-(x+3)^{2}\) حيث \(x\) عدد حقيقي

  1. انشر و اختصر العبارة \(A\)
  2. احسب القيمة العددية لـ \(A\) في كل من الحالتين : \(x=\sqrt{2}\) و \(x=\sqrt{3}-1\)
  3. بين أن \(A=(x-4)(3x+2)\)
  4. لتكن العبارة : \(B=x^{2}-8x+16\)
    أ- فكك العبارة \(B\) إلى جذاء عوامل
    ب- بين أن \(A+B=(x-4)(4x-2)\)
    ج- جد العدد الحقيقي \(x\) بحيث \(A=-B\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
  • ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
  • انشر بترتيب ، حدّا بحدّ ، ثمّ اجمع الحدود المتشابهة. انتبه لإشارة الطرح أمام قوس.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 4 : انشر باستعمال الجذاءات المعتبرة ثمّ اجمع الحدود من نفس الدرجة.

✅ الحل النهائي

  1. نشر واختصار \(A\) : \[A = (4x^2-4x+1) - (x^2+6x+9) = 3x^2 - 10x - 8\]
  2. حساب القيمة العددية :
    • عند \(x=\sqrt{2}\) : \(A = 3(2) - 10\sqrt{2} - 8 = -2 - 10\sqrt{2}\)
    • عند \(x=\sqrt{3}-1\) : \(A = 3(\sqrt{3}-1)^2 - 10(\sqrt{3}-1) - 8 = 3(3-2\sqrt{3}+1) - 10\sqrt{3} + 10 - 8 = 12 - 6\sqrt{3} - 10\sqrt{3} + 2 = 14 - 16\sqrt{3}\)
  3. تفكيك \(A\) : \[A = [(2x-1)-(x+3)][(2x-1)+(x+3)] = (x-4)(3x+2)\]
  4. أ- \(B = (x-4)^2\)
    ب- \(A+B = (x-4)(3x+2) + (x-4)^2 = (x-4)[(3x+2)+(x-4)] = (x-4)(4x-2)\)
    ج- \(A=-B \iff A+B=0 \iff (x-4)(4x-2)=0 \iff x=4 \text{ أو } x=\frac{1}{2}\)