عبارات جبريّة — بدون وضعية

تمرين 12 \(A=4x^{2}-(x-5)^{2}\)

نعتبر العبارتين التاليتين : \(A=4x^{2}-(x-5)^{2}\) و \(B=4(x+5)^{2}\) حيث \(x\) عدد حقيقي

لم تبدأ بعد

لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.

الخطوة 1 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 2 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 3 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

تفكيك \(A\) أولاً: \(A = (2x)^2 - (x-5)^2 = (2x-(x-5))(2x+(x-5)) = (x+5)(3x-5)\)
أ- \(A=0 \iff (x+5)(3x-5)=0 \iff x=-5 \text{ أو } x=\frac{5}{3}\)
ب- \(A=(1-x)(3x-5) \iff (x+5)(3x-5) - (1-x)(3x-5) = 0\)
\(\iff (3x-5)[(x+5)-(1-x)] = 0 \iff (3x-5)(2x+4) = 0\)
\(\iff 3x-5=0 \text{ أو } 2x+4=0 \iff x=\frac{5}{3} \text{ أو } x=-2\)
أ- \(B=1 \iff 4(x+5)^2 = 1 \iff (2(x+5))^2 = 1 \iff 2x+10=1 \text{ أو } 2x+10=-1 \iff x=-\frac{9}{2} \text{ أو } x=-\frac{11}{2}\)
ب- \(A-B = (x+5)(3x-5) - 4(x+5)^2 = (x+5)[(3x-5)-4(x+5)] = (x+5)(3x-5-4x-20) = (x+5)(-x-25)\)
\(A-B=0 \iff x=-5 \text{ أو } x=-25\)