عبارات جبريّة — بدون وضعية

تمرين 11 \(A=x^{2}+6x-7\)

نعتبر العبارة : \(A=x^{2}+6x-7\) حيث \(x\) عدد حقيقي

احسب \(A\) في كل من الحالتين : \(x=-1\) و \(x=\sqrt{2}\)
أ- بين أن \(A=(x+3)^{2}-16\)
ب- استنتج تفكيكا لـ \(A\) إلى جذاء عوامل
لتكن العبارة : \(B=2x^{2}+28x+98\)
أ- فكك إلى جذاء عوامل العبارة \(B\)
ب- بين أن \(A+B=(x+7)(3x+13)\)
ج- أوجد \(x\) علما أن \(A+B=0\)

لم تبدأ بعد

قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 4 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 5 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

حساب \(A\) :
- عند \(x=-1\) : \(A = (-1)^2 + 6(-1) - 7 = 1 - 6 - 7 = -12\)
- عند \(x=\sqrt{2}\) : \(A = (\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{2} - 7 = 2 + 6\sqrt{2} - 7 = -5 + 6\sqrt{2}\)
أ- \((x+3)^2 - 16 = x^2 + 6x + 9 - 16 = x^2 + 6x - 7 = A\)
ب- \(A = (x+3)^2 - 4^2 = ((x+3)-4)((x+3)+4) = (x-1)(x+7)\)
أ- \(B = 2(x^2 + 14x + 49) = 2(x+7)^2\)
ب- \(A+B = (x-1)(x+7) + 2(x+7)^2 = (x+7)[(x-1) + 2(x+7)] = (x+7)(x-1+2x+14) = (x+7)(3x+13)\)
ج- \(A+B=0 \iff x+7=0 \text{ أو } 3x+13=0 \iff x=-7 \text{ أو } x=-\frac{13}{3}\)