عبارات جبريّة — بدون وضعية

تمرين 10 \(A=(3x-1)^{2}-(2x+3)^{2}\)

نعتبر العبارتين : \(A=(3x-1)^{2}-(2x+3)^{2}\) و \(B=x^{2}-8x+16-(x-4)(3x+1)\) حيث \(x\) عدد حقيقي

لم تبدأ بعد

قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
انشر بترتيب ، حدّا بحدّ ، ثمّ اجمع الحدود المتشابهة. انتبه لإشارة الطرح أمام قوس.

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 4 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 5 : انشر باستعمال الجذاءات المعتبرة ثمّ اجمع الحدود من نفس الدرجة.

نشر واختصار \(A\) : \[A = (9x^2-6x+1) - (4x^2+12x+9) = 5x^2 - 18x - 8\]
حساب \(A\) عند \(x=\sqrt{3}+1\) : \[A = 5(\sqrt{3}+1)^2 - 18(\sqrt{3}+1) - 8 = 5(3+2\sqrt{3}+1) - 18\sqrt{3} - 18 - 8\] \[A = 5(4+2\sqrt{3}) - 18\sqrt{3} - 26 = 20 + 10\sqrt{3} - 18\sqrt{3} - 26 = -6 - 8\sqrt{3}\]
تفكيك \(A\) و \(B\) : \[A = [(3x-1)-(2x+3)][(3x-1)+(2x+3)] = (x-4)(5x+2)\] \[B = (x-4)^2 - (x-4)(3x+1) = (x-4)[(x-4)-(3x+1)] = (x-4)(-2x-5) = -(x-4)(2x+5)\]
إيجاد \(x\) حيث \(A+B=0\) : \[A+B = (x-4)(5x+2) - (x-4)(2x+5) = (x-4)[(5x+2)-(2x+5)] = (x-4)(3x-3) = 3(x-4)(x-1)\] \[A+B=0 \iff x=4 \text{ أو } x=1\]
إيجاد \(x\) حيث \(2A-3B=0\) : \[2A-3B = 2(x-4)(5x+2) + 3(x-4)(2x+5) = (x-4)[2(5x+2)+3(2x+5)]\] \[2A-3B = (x-4)(10x+4+6x+15) = (x-4)(16x+19)\] \[2A-3B=0 \iff x=4 \text{ أو } x=-\frac{19}{16}\]