عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 8
تمرين 8 \(A=9x^{2}-4\)

📐 نص التمرين

نعتبر العبارتين : \(A=9x^{2}-4\) و \(B=9x^{2}+12x+4\) حيث \(x\) عدد حقيقي

  1. فكك العبارتين \(A\) و \(B\) إلى جذاء عوامل
  2. أ- أوجد \(x\) في حالة \(A=0\)
    ب- أوجد \(x\) في حالة \(B=0\)
  3. أ- فكك العبارة \(C=A-B\) إلى جذاء عاملين
    ب- أوجد \(x\) إذا علمت أن \(C=0\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
  • ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
  • لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 2 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 3 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

✅ الحل النهائي

  1. تفكيك \(A\) و \(B\) : \[A = (3x)^2 - 2^2 = (3x-2)(3x+2)\] \[B = (3x)^2 + 2(3x)(2) + 2^2 = (3x+2)^2\]
  2. أ- \(A=0 \iff (3x-2)(3x+2)=0 \iff x=\frac{2}{3} \text{ أو } x=-\frac{2}{3}\)
    ب- \(B=0 \iff (3x+2)^2=0 \iff 3x+2=0 \iff x=-\frac{2}{3}\)
  3. أ- تفكيك \(C=A-B\) : \[C = (3x-2)(3x+2) - (3x+2)^2 = (3x+2)[(3x-2)-(3x+2)] = (3x+2)(-4) = -4(3x+2)\] ب- \(C=0 \iff -4(3x+2)=0 \iff 3x+2=0 \iff x=-\frac{2}{3}\)