عبارات جبريّة — بدون وضعية

تمرين 7 \(A=x^{2}-9\)

نعتبر العبارتين : \(A=x^{2}-9\) و \(B=(2x-3)^{2}-9x^{2}\) حيث \(x\) عدد حقيقي

لم تبدأ بعد

قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
انشر بترتيب ، حدّا بحدّ ، ثمّ اجمع الحدود المتشابهة. انتبه لإشارة الطرح أمام قوس.

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 4 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 5 : انشر باستعمال الجذاءات المعتبرة ثمّ اجمع الحدود من نفس الدرجة.

أ- نشر واختصار \(B\) : \[B = 4x^2 - 12x + 9 - 9x^2 = -5x^2 - 12x + 9\] ب- حساب \(B\) عند \(x=\sqrt{2}\) : \[B = -5(\sqrt{2})^2 - 12\sqrt{2} + 9 = -5(2) - 12\sqrt{2} + 9 = -1 - 12\sqrt{2}\]
تفكيك العبارة \(A\) : \[A = (x-3)(x+3)\]
تفكيك العبارة \(B\) : \[B = (2x-3)^2 - (3x)^2 = ((2x-3)-3x)((2x-3)+3x) = (-x-3)(5x-3) = -(x+3)(5x-3)\]
تبيين أن \(A-B=6(x+3)(x-1)\) : \[A-B = (x-3)(x+3) + (x+3)(5x-3) = (x+3)[(x-3)+(5x-3)] = (x+3)(6x-6) = 6(x+3)(x-1)\]
طريقة ثانية بالحساب المباشر:
\[A-B = (x^2-9) - (-5x^2-12x+9) = 6x^2 + 12x - 18 = 6(x^2+2x-3) = 6(x+3)(x-1)\]
إيجاد \(x\) حيث \(A-B=0\) : \[6(x+3)(x-1)=0 \iff x=-3 \text{ أو } x=1\]