عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 5
تمرين 5 \(P=(2x-1)^{2}+2x^{2}-1\)

📐 نص التمرين

نعتبر العبارتين الجبريتين \(P=(2x-1)^{2}+2x^{2}-1\) و \(Q=(\sqrt{3}x+1)(\sqrt{3}x-2)\) حيث \(x\) عدد حقيقي

  1. انشر و اختصر العبارة \(Q\)
  2. احسب \(P\) في كل حالة من الحالات التالية : \(x=0\) و \(x=\frac{1}{2}\)
  3. انشر \((2x-1)^{2}\) ثم اختصر العبارة \(P\)
  4. فكك إلى جذاء عوامل العبارة \(P\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
  • ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
  • انشر بترتيب ، حدّا بحدّ ، ثمّ اجمع الحدود المتشابهة. انتبه لإشارة الطرح أمام قوس.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 4 : انشر باستعمال الجذاءات المعتبرة ثمّ اجمع الحدود من نفس الدرجة.

✅ الحل النهائي

  1. نشر واختصار \(Q\) : \[Q = (\sqrt{3}x)^2 - 2\sqrt{3}x + \sqrt{3}x - 2 = 3x^2 - \sqrt{3}x - 2\]
  2. حساب \(P\) :
    • إذا كان \(x=0\) : \(P = (2(0)-1)^2 + 2(0)^2 - 1 = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0\)
    • إذا كان \(x=\frac{1}{2}\) : \(P = \left(2\left(\frac{1}{2}\right)-1\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 = (1-1)^2 + 2\left(\frac{1}{4}\right) - 1 = 0 + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}\)
  3. نشر واختصار \(P\) : \[(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1\] \[P = 4x^2 - 4x + 1 + 2x^2 - 1 = 6x^2 - 4x\]
  4. تفكيك العبارة \(P\) : \[P = 6x^2 - 4x = 2x(3x-2)\]