عبارات جبريّة — بدون وضعية

9 أساسيتمرين رقم 1
تمرين 1 \(E=x^{2}-4x-5\)

📐 نص التمرين

نعتبر العبارة : \(E=x^{2}-4x-5\) حيث \(x\) عدد حقيقي

  1. احسب القيمة العددية لـ \(E\) إذا كان \(x=-\sqrt{3}\)
  2. بين أن \(E=(x-2)^{2}-9\)
  3. استنتج تفكيكا للعبارة \(E\) إلى جذاء عوامل
  4. أوجد الأعداد الحقيقية \(x\) حيث \((x-5)(x+1)=0\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
  • ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
  • كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 4 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

✅ الحل النهائي

  1. حساب القيمة العددية لـ \(E\) عند \(x=-\sqrt{3}\) : \[E = (-\sqrt{3})^2 - 4(-\sqrt{3}) - 5\] \[E = 3 + 4\sqrt{3} - 5\] \[E = 4\sqrt{3} - 2\]
  2. تبيين أن \(E=(x-2)^{2}-9\) : \[(x-2)^2 - 9 = x^2 - 4x + 4 - 9 = x^2 - 4x - 5 = E\]
  3. تفكيك العبارة \(E\) : \[E = (x-2)^2 - 3^2\] \[E = ((x-2)-3)((x-2)+3)\] \[E = (x-5)(x+1)\]
  4. إيجاد الأعداد الحقيقية \(x\) : \[(x-5)(x+1)=0 \iff x-5=0 \text{ أو } x+1=0\] \[\iff x=5 \text{ أو } x=-1\]