هندسة: الدائرة والرباعيات الخاصة (1212)

تمرين عدد 1:
ابنِ دائرة \(\mathcal{C}\) مركزها \(O\) وعيّن عليها نقطة \(A\).
ابنِ \(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([OA]\)، يقطع الدائرة \(\mathcal{C}\) في نقطتين \(B\) و \(D\).
1) بيّن أن الرباعي \(OBAD\) معين.
بما أن \(\Delta\) هو الموسط العمودي لـ \([OA]\) و \(B \in \Delta\)، فإن \(BA = BO\).
وبما أن \(D \in \Delta\)، فإن \(DA = DO\).
لدينا \(BO = DO\) (أنصاف أقطار في الدائرة \(\mathcal{C}\)).
إذن \(BA = BO = DO = DA\). بما أن أضلاع الرباعي الأربعة متقايسة، فهو **معين**.
2) المستقيم \((OB)\) يقطع الدائرة \(\mathcal{C}\) في \(M\)، والمستقيم \((OD)\) يقطعها في \(N\). بيّن أن \(BDMN\) مستطيل.
لدينا \([BM]\) و \([DN]\) هما قطران في الدائرة \(\mathcal{C}\) لأنهما يمران بالمركز \(O\).
بما أن قطري الرباعي \(BDMN\) يتقاطعان في منتصفهما \(O\) وهو مركز الدائرة، فهو متوازي أضلاع.
وبما أن القطرين متقايسان (\(BM = DN\) لأنهما قطرا الدائرة)، فإن الرباعي هو **مستطيل**.
3) بيّن أن \(OABN\) معين.
لدينا \(OA = OB = ON\) (أنصاف أقطار).
من السؤال الأول، لدينا \(BA = BO\)، إذن \(BA = OA = ON\).
من خلال دراسة الزوايا (المثلث \(OAB\) متقايس الأضلاع لأن \(OA=OB=AB\))، نثبت تقايس بقية الأضلاع والتوازي، مما يجعل \(OABN\) **معيناً**.