هندسة في الفضاء: الهرم (1212)

تمرين عدد 1:
\(SABCD\) هرم قاعدته المربع \(ABCD\).
\(N \in (SC)\) و \(M \in (SB)\) حيث \((MN) // (AB)\).
1) أكمل بالرمز المناسب \(\in\) أو \(\notin\) أو \(\subset\) أو \(\not\subset\):
  • \(N \dots (ABC)\)
  • \((DM) \dots (SBD)\)
  • \(\dots (MND)\)
  • \(N \dots (SAC)\)
\(N \notin (ABC)\) (لأن النقطة \(N\) تقع على حرف جانبي للهرم وليست في القاعدة).
\((DM) \subset (SBD)\) (بما أن \(D \in (SBD)\) و \(M \in [SB]\) فإن المستقيم محتوى في المستوي).
\(N \in (SAC)\) (لأن \(N\) تنتمي إلى المستقيم \((SC)\) والمستقيم \((SC)\) محتوى في المستوي \((SAC)\)).
2) بيّن أن \((MN) // (ABC)\).
لدينا حسب المعطيات \((MN) // (AB)\).
وبما أن المستقيم \((AB)\) محتوى في مستوي القاعدة \((ABC)\).
فإن المستقيم \((MN)\) يوازي المستوي \((ABC)\).
3) ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين \((BN)\) و \((DM)\)؟ علل جوابك.
المستقيمان \((BN)\) و \((DM)\) مستقيمان **غير مستويين** (غير متقاطعين وغير متوازيين).
التعليل: النقطة \(M\) تنتمي للمستوي \((SBC)\) بينما النقطة \(D\) لا تنتمي إليه، ولا يوجد مستوي واحد يجمعهما.
4) لتكن \(P\) نقطة تقاطع \((CM)\) و \((DN)\). بيّن أن \((SAD) \cap (SBC) = (SP)\).
النقطة \(S\) نقطة مشتركة بين المستويين \((SAD)\) و \((SBC)\).
النقطة \(P\) هي تقاطع \((CM)\) و \((DN)\). وبما أن \((CM) \subset (SBC)\) و \((DN) \subset (SAD)\)، فإن \(P\) نقطة مشتركة أيضاً.
إذن المستقيم \((SP)\) هو خط تقاطع المستويين.
5) أحسب طول ضلع المربع \(ABCD\) إذا علمت أن حجم الهرم \(SABCD\) يساوي \(27 \text{ cm}^3\) وارتفاعه \(9 \text{ cm}\).
نعلم أن حجم الهرم هو: \(V = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Height}\).
إذن: \(27 = \frac{1}{3} \times \text{Area}(ABCD) \times 9\).
\(27 = 3 \times \text{Area}(ABCD) \implies \text{Area}(ABCD) = 9 \text{ cm}^2\).
بما أن القاعدة مربع، فإن طول الضلع هو \(\sqrt{9} = 3 \text{ cm}\).