⏸️ التوازي في الفضاء ⏸️

المستويات والمستقيمات في الفضاء الثلاثي الأبعاد

📐

المستوي في الفضاء

اضغط لفهم تحديد المستوي

المستوي في الفضاء

📌 التعريف الأساسي

المستوي هو سطح مستو غير محدود يمتد في جميع الاتجاهات

🔑 كيف نحدد مستوياً؟

ثلاث نقاط من الفضاء ليست على استقامة واحدة تحدد مستوياً واحداً

المستوي المحدد بالنقاط A و B و C
نرمز له بـ: \(P = (ABC)\)

📝 خاصية هامة

إذا كانت لمستقيم نقطتان مشتركتان مع مستوي، فهو محتوٍ في هذا المستوي

مثال:
إذا كان \(A \in P\) و \(B \in P\)
فإن: \((AB) \subset P\)
⚠️ مستقيم محتوٍ في مستوي يعني أن كل نقطة من المستقيم تنتمي إلى المستوي
↔️

الوضعيات النسبية لمستقيمين

اضغط لاكتشاف الحالات الممكنة

الوضعيات النسبية لمستقيمين

📊 ثلاث حالات ممكنة

1️⃣ مستقيمان متوازيان

مستقيمان محتويان في نفس المستوي وغير متقاطعين

الرمز: \(\Delta \parallel \Delta'\)

2️⃣ مستقيمان متقاطعان

مستقيمان محتويان في نفس المستوي ولهما نقطة مشتركة واحدة

\(\Delta \cap \Delta' = \{M\}\)

3️⃣ مستقيمان ليسا في نفس المستوي

مستقيمان غير متوازيين وغير متقاطعين

لا يوجد مستوٍ يحوي المستقيمين معاً

💡 مستقيمان من نفس المستوي هما إما متوازيان أو متقاطعان
مثال في المكعب:
• (AB) و (DC) متوازيان
• (AB) و (AC) متقاطعان
• (AB) و (EG) ليسا في نفس المستوي
📏

الوضعيات النسبية لمستقيم ومستوي

اضغط للحالات الثلاث

مستقيم ومستوي

📊 ثلاث وضعيات ممكنة

1️⃣ المستقيم محتوٍ في المستوي

كل نقاط المستقيم تنتمي إلى المستوي

\(\Delta \subset P\)

2️⃣ المستقيم يقطع المستوي

المستقيم والمستوي لهما نقطة مشتركة واحدة

\(\Delta \cap P = \{A\}\)

3️⃣ المستقيم موازٍ للمستوي

المستقيم والمستوي ليس لهما أي نقطة مشتركة

\(\Delta \cap P = \emptyset\)

🔑 خاصية هامة

إذا كان مستقيم موازياً لمستقيم من مستوي، فهو موازٍ لهذا المستوي

إذا كان: \(\Delta' \parallel \Delta\) و \(\Delta \subset P\)
فإن: \(\Delta' \parallel P\)
✂️

المستويان المتقاطعان

اضغط لفهم التقاطع

المستويان المتقاطعان

📌 التعريف

مستويان متقاطعان هما مستويان يشتركان في مستقيم

إذا كان P و Q متقاطعين:
\(P \cap Q = \Delta\) (مستقيم)

🔑 خاصية أساسية

إذا كانت A و B و C ثلاث نقاط مشتركة بين مستويين متقاطعين، فهي على استقامة واحدة

مثال في الموشور القائم:
المستويان (ABB'A') و (BCC'B') يتقاطعان
حسب المستقيم (BB')

📐 طريقة تحديد التقاطع

لتحديد تقاطع مستويين، نبحث عن نقطتين مشتركتين بينهما

المستقيم المار من هاتين النقطتين هو تقاطع المستويين

⚠️ تقاطع مستويين هو دائماً مستقيم (إذا كانا غير منطبقين)
⏸️

المستويان المتوازيان

اضغط للتعريف والخصائص

المستويان المتوازيان

📌 التعريف

مستويان متوازيان هما مستويان غير متقاطعين

\(P \parallel Q\) يعني \(P \cap Q = \emptyset\)

🔑 الخصائص الأساسية

  • ليس لهما أي نقطة مشتركة
  • المسافة بينهما ثابتة في كل مكان
  • كل مستقيم في أحدهما موازٍ للآخر

📐 قطع بمستوٍ ثالث

إذا قطع مستوٍ ثالث R مستويين متوازيين P و Q:

\(P \cap R = D\) و \(Q \cap R = D'\)
فإن: \(D \parallel D'\)
مثال في متوازي المستطيلات:
المستويان (ABC) و (EFG) متوازيان
كل حرف جانبي عمودي على كلا المستويين
💡 في الموشور القائم: القاعدتان تمثلان مستويين متوازيين
🔄

خصائص التوازي الأساسية

اضغط للقواعد الذهبية

خصائص التوازي

🔑 خاصية 1 - مستقيم موازٍ لمستوي

إذا كان مستقيم موازياً لمستقيم محتوٍ في مستوي، فإن المستقيم الأول موازٍ للمستوي

\(\Delta' \parallel \Delta\) و \(\Delta \subset P\)
⟹ \(\Delta' \parallel P\)

🔑 خاصية 2 - قطع مستويين متوازيين

إذا قطع مستوٍ مستويين متوازيين، فإن المستقيمين الناتجين متوازيان

\(P \parallel Q\) و \(R \cap P = D\) و \(R \cap Q = D'\)
⟹ \(D \parallel D'\)

🔑 خاصية 3 - التعدية

إذا كان مستقيمان موازيين لمستقيم ثالث، فإنهما متوازيان

تطبيق:
في المكعب ABCDEFGH:
(AB) ∥ (DC) و (AB) ∥ (EF)
إذن: (DC) ∥ (EF)
📦

المجسمات في الفضاء

اضغط لأنواع المجسمات

المجسمات الهندسية

1️⃣ الموشور القائم

مجسم له قاعدتان متوازيتان ومتطابقتان

الأوجه الجانبية مستطيلات

2️⃣ متوازي المستطيلات

موشور قائم قاعدته مستطيل

له 6 أوجه مستطيلة، 12 حرفاً، 8 رؤوس

3️⃣ المكعب

متوازي مستطيلات جميع أحرفه متساوية

له 6 أوجه مربعة متطابقة

4️⃣ الهرم

مجسم له قاعدة واحدة ورأس

الأوجه الجانبية مثلثات

المكعب:
8 رؤوس، 12 حرفاً، 6 أوجه
الهرم الرباعي:
5 رؤوس، 8 أحرف، 5 أوجه
🎯

طرق الإثبات والحل

اضغط للمنهجية

طرق الإثبات

📝 لإثبات أن مستقيمين متوازيان

الطريقة 1: إثبات أنهما في نفس المستوي وغير متقاطعين

الطريقة 2: إثبات أن كلاهما موازٍ لمستقيم ثالث

📝 لإثبات أن مستقيم موازٍ لمستوي

نبحث عن مستقيم في المستوي موازٍ للمستقيم المعطى

📝 لتحديد تقاطع مستويين

الخطوة 1: نحدد نقطتين مشتركتين

الخطوة 2: المستقيم المار من النقطتين هو التقاطع

📝 لتحديد تقاطع مستقيم ومستوي

الخطوة 1: نبحث عن مستوٍ يحوي المستقيم

الخطوة 2: نحدد تقاطع المستويين

الخطوة 3: نقطة التقاطع المطلوبة على هذا المستقيم

💡 استعمل دائماً الرسم المنظوري لتصور الوضعية بشكل أفضل
🔣

الرموز الرياضية المستعملة

اضغط للرموز الأساسية

الرموز في هندسة الفضاء

📌 رموز الانتماء

\(\in\) : ينتمي إلى

\(\notin\) : لا ينتمي إلى

\(\subset\) : محتوٍ في

\(\not\subset\) : غير محتوٍ في

📌 رموز التوازي والتقاطع

\(\parallel\) : موازٍ لـ

\(\cap\) : يتقاطع مع

\(\emptyset\) : المجموعة الخالية

أمثلة على الاستعمال:
• \(A \in P\) : النقطة A تنتمي إلى المستوي P
• \((AB) \subset P\) : المستقيم (AB) محتوٍ في P
• \(\Delta \parallel P\) : المستقيم Δ موازٍ لـ P
• \(P \cap Q = \Delta\) : تقاطع P و Q هو Δ
• \(\Delta \cap P = \{A\}\) : Δ يقطع P في A

📌 تسمية المستويات والمستقيمات

مستوي: P، Q، (ABC)

مستقيم: \(\Delta\)، (AB)، D

نقطة: A، B، M

📚

ملخص شامل للدرس

اضغط للمراجعة السريعة

الملخص الشامل

🔵 المستوي

• يحدد بثلاث نقاط غير مستقيمة

• مستقيم له نقطتان في مستوي ⟹ محتوٍ فيه

🔵 مستقيمان في الفضاء

• متوازيان: في نفس المستوي، لا يتقاطعان

• متقاطعان: في نفس المستوي، نقطة مشتركة

• ليسا في نفس المستوي: لا متوازيان ولا متقاطعان

🔵 مستقيم ومستوي

• محتوٍ: \(\Delta \subset P\)

• قاطع: \(\Delta \cap P = \{A\}\)

• موازٍ: \(\Delta \cap P = \emptyset\)

🔵 مستويان

• متقاطعان: \(P \cap Q = \Delta\) (مستقيم)

• متوازيان: \(P \cap Q = \emptyset\)

⭐ القاعدة الذهبية: مستقيم موازٍ لمستقيم من مستوي ⟹ موازٍ للمستوي
✨ اضغط على أي بطاقة لاكتشاف أسرار التوازي في الفضاء