تمرين 3 — الهرم المنتظم SABCD
قاعدة مربعة — ارتفاع، حجم، نقطة على الارتفاع ومركز ثقل
السنة التاسعة أساسينص التمرين
$SABCD$ هرم منتظم قاعدته مربع $ABCD$، $O$ مركز المربع، $I$ منتصف $[BC]$.
- $AB = 4$ , $SO = 6$
- $H \in [SO]$ بحيث $SH = 4$
- $G$ نقطة تقاطع المستقيم $(SI)$ مع المستوي المار بـ $H$ والموازي للقاعدة
1
احسب $OI$ ثم استنتج $SI$ (ذراع الهرم).
التصحيح
$O$ مركز المربع، $I$ منتصف $[BC]$.
$OI = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$
$OI = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$
$OI = 2$
$[SO] \perp (ABC)$ (هرم منتظم) إذن $[SO] \perp [OI]$.
المثلث $SOI$ قائم في $O$، حسب نظرية فيثاغورس:
المثلث $SOI$ قائم في $O$، حسب نظرية فيثاغورس:
$SI^2 = SO^2 + OI^2 = 36 + 4 = 40$
$SI = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
2
احسب الحرف الجانبي $SB$ ثم حجم الهرم.
التصحيح
$OB = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ (نصف قطر المربع).
المثلث $SOB$ قائم في $O$:
المثلث $SOB$ قائم في $O$:
$SB^2 = SO^2 + OB^2 = 36 + 8 = 44$
$SB = 2\sqrt{11}$
مساحة القاعدة: $\mathcal{A} = 4 \times 4 = 16$
$V = \dfrac{1}{3} \times 16 \times 6 = 32$
$V = 32$ وحدة حجم
3
$H$ نقطة من $[SO]$ بحيث $SH = 4$. المستوي المار بـ $H$ الموازي للقاعدة يقطع $(SI)$ في $G$. احسب $SG$.
التصحيح
المستوي المار بـ $H$ الموازي للقاعدة يقطع المثلث $SOI$ على المستقيم $(HG)$ الموازي لـ $(OI)$.
نطبّق مبرهنة طاليس في المثلث $SOI$ مع $(HG) \parallel (OI)$:
$\dfrac{SH}{SO} = \dfrac{SG}{SI}$
$\dfrac{4}{6} = \dfrac{SG}{2\sqrt{10}}$
$SG = \dfrac{4 \times 2\sqrt{10}}{6} = \dfrac{8\sqrt{10}}{6} = \dfrac{4\sqrt{10}}{3}$
$SG = \dfrac{4\sqrt{10}}{3}$
4
بيّن أن $G$ هو مركز ثقل المثلث $SBC$.
التصحيح
في المثلث $SBC$: $[SI]$ هو الوسيط الناتج من $S$ على $[BC]$ (لأن $I$ منتصف $[BC]$).
$G \in [SI]$ مع:
$\dfrac{SG}{SI} = \dfrac{4\sqrt{10}/3}{2\sqrt{10}} = \dfrac{4}{3 \times 2} = \dfrac{2}{3}$
$SG = \dfrac{2}{3} SI$ معناه أن $G$ يقسم الوسيط $[SI]$ بنسبة $2:1$ من الرأس $S$.
$G$ هو مركز ثقل المثلث $SBC$