تمرين 2 — متوازي المستطيلات
$ABCDEFGH$ — الأقطار، الأطوال والحجوم
السنة التاسعة أساسينص التمرين
$ABCDEFGH$ متوازي مستطيلات بحيث:
- $AB = 4$ , $BC = 3$ , $AE = 12$
1
احسب طول قطر الوجه $AC$.
التصحيح
$ABCD$ مستطيل، إذن $\widehat{ABC} = 90°$.
المثلث $ABC$ قائم في $B$.
المثلث $ABC$ قائم في $B$.
حسب نظرية فيثاغورس:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 16 + 9 = 25$
$AC = 5$
2
بيّن أن المثلث $ACG$ قائم ثم احسب الطول $AG$ (القطر الكبير).
التصحيح
$[CG]$ حرف جانبي، إذن $[CG] \perp (ABC)$.
$(AC) \subset (ABC)$، إذن $[CG] \perp [AC]$.
المثلث $ACG$ قائم في $C$.
$(AC) \subset (ABC)$، إذن $[CG] \perp [AC]$.
المثلث $ACG$ قائم في $C$.
$CG = AE = 12$ (متوازي مستطيلات).
حسب نظرية فيثاغورس:
حسب نظرية فيثاغورس:
$AG^2 = AC^2 + CG^2 = 25 + 144 = 169$
$AG = 13$
ملاحظة: نتأكد بالصيغة المباشرة:
$\sqrt{AB^2 + BC^2 + AE^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$ ✓
3
$I$ منتصف $[CG]$. بيّن أن $[BI] \perp [CG]$.
التصحيح
$[CG] \perp (ABC)$ (حرف جانبي).
$(BC) \subset (ABC)$ إذن $[CG] \perp [BC]$.
$(BC) \subset (ABC)$ إذن $[CG] \perp [BC]$.
نعتبر المستوي $(BCG)$. هذا مستطيل (وجه جانبي).
نلاحظ أن $B$ و $I$ ينتميان للمستوي $(BCG)$.
$BC = 3$ و $CI = \dfrac{CG}{2} = 6$. المثلث $BCI$ قائم في $C$.
حسب نظرية فيثاغورس: $BI^2 = 9 + 36 = 45$ إذن $BI = 3\sqrt{5}$.
نلاحظ أن $B$ و $I$ ينتميان للمستوي $(BCG)$.
$BC = 3$ و $CI = \dfrac{CG}{2} = 6$. المثلث $BCI$ قائم في $C$.
حسب نظرية فيثاغورس: $BI^2 = 9 + 36 = 45$ إذن $BI = 3\sqrt{5}$.
لإثبات $[BI] \perp [CG]$: في المستطيل $BCGF$، يكفي ملاحظة أن $B$ نقطة من المستوي العمودي على $[CG]$ المار بـ $C$.
الطريقة المباشرة: $[CG] \perp (ABC)$ إذن $[CG]$ عمودي على كل مستقيم في $(ABC)$، وخاصة $[BC]$. ثم في المثلث $BCI$ القائم في $C$ نلاحظ أن $[BI]$ في المستوي $(BCG)$.
الطريقة المباشرة: $[CG] \perp (ABC)$ إذن $[CG]$ عمودي على كل مستقيم في $(ABC)$، وخاصة $[BC]$. ثم في المثلث $BCI$ القائم في $C$ نلاحظ أن $[BI]$ في المستوي $(BCG)$.
$[BI] \perp [CG]$ في المستوي $(BCG)$
4
احسب حجم متوازي المستطيلات.
التصحيح
حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع
$V = AB \times BC \times AE = 4 \times 3 \times 12$
$V = 144$ وحدة حجم