تمرين 1 — التعامد في الفضاء

نص التمرين

$OABCD$ هرم قاعدته مستطيل $ABCD$ بحيث:

احسب الطول $OB$.

التصحيح

$[OA] \perp (ABC)$ إذن $[OA] \perp [AB]$، فالمثلث $OAB$ قائم في $A$.

حسب نظرية فيثاغورس:

$OB^2 = OA^2 + AB^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$

$OB = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

بيّن أن $[BC] \perp (OAB)$ ثم استنتج الطول $OC$.

التصحيح

$ABCD$ مستطيل إذن $[BC] \perp [AB]$.
$[OA] \perp (ABC)$ إذن $[OA] \perp [BC]$.
$[BC]$ عمودي على مستقيمين متقاطعين في $(OAB)$ هما $(AB)$ و $(OA)$.

إذن $[BC] \perp (OAB)$

$(OB) \subset (OAB)$ إذن $[BC] \perp [OB]$، فالمثلث $OBC$ قائم في $B$.

حسب نظرية فيثاغورس:

$OC^2 = OB^2 + BC^2 = 52 + 64 = 116$

$OC = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$

احسب الطول $OD$.

التصحيح

$[OA] \perp (ABC)$ إذن $[OA] \perp [AD]$، فالمثلث $OAD$ قائم في $A$.
في المستطيل: $AD = BC = 8$.

حسب نظرية فيثاغورس:

$OD^2 = OA^2 + AD^2 = 16 + 64 = 80$

$OD = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

احسب حجم الهرم $OABCD$.

التصحيح

مساحة القاعدة (المستطيل):

$\mathcal{A} = AB \times BC = 6 \times 8 = 48$

$[OA]$ هو ارتفاع الهرم (لأنه عمودي على القاعدة):

$V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A} \times OA = \dfrac{1}{3} \times 48 \times 4 = 64$

$V = 64$ وحدة حجم