4
معطيات التمرين
تجد جانبيه هرما منتظما SABC حيث AB = 3 و SO = √6
النقاط I و J و K و L هي على التوالي منتصفات الأحرف [AB] و [BC] و [SC] و [SA]
النقاط I و J و K و L هي على التوالي منتصفات الأحرف [AB] و [BC] و [SC] و [SA]
السؤال 1 — دراسة المثلث ABC والنقطة O
أ.
ماذا يمثل O في المثلث ABC؟ علّل
✓ التصحيح
في المثلث ABC نجد [CI] و [AJ] موسطان يتقاطعان في O فإن O يمثل مركز ثقل المثلث ABC. من ناحية أخرى O هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC القائم فيه.
ب.
احسب OA ثم استنتج أن SA = 3
✓ التصحيح
OA = (2/3) × AJ = (2/3) × (AB√3/2) = (2/3) × (3√3/2) = √3
SOA قائم في O (الهرم منتظم [SO]⊥(ABC)):
SA² = SO² + OA² = 6 + 3 = 9 → SA = 3
ج.
ما نوع المثلث SAB؟ علّل
✓ التصحيح
لأن SABC هرم منتظم فإن SA = SB = SC = 3 و AB = 3
المثلث SAB متقايس الأضلاع
السؤال 2 — المستقيمان (LI) و (JK)
أ.
بيّن أن (LI)//(JK)
✓ التصحيح
- في المثلث SAB: L منتصف [SA] و I منتصف [AB] إذن (LI)//(BS) (1)
- في المثلث SBC: K منتصف [SC] و J منتصف [BC] إذن (JK)//(BS) (2)
- من (1) و (2): (LI)//(JK)
ب.
بيّن أن المثلث SIC متقايس الضلعين في I واستنتج KI²
✓ التصحيح
SI = AB√3/2 = 3√3/2 ؛ CI = AB√3/2 = 3√3/2
إذن المثلث SIC متقايس الضلعين في I. K منتصف [SC] إذن [IK] ارتفاع للضلع [SC].
في المثلث SIK قائم في K:
KI² = SI² − SK² = (3√3/2)² − (3/2)² = 27/4 − 9/4 = 18/4 = 9/2
ج.
احسب LI² و KL²
✓ التصحيح
LK² = (AC/2)² = (3/2)² = 9/4 ؛ LP² = (3/2)² = 9/4
LI = KI = 3/√2 = 3√2/2
د.
استنتج أن المثلث KLI قائم ومتقايس الضلعين في L
✓ التصحيح
KI² = KL² + LI² أي 9/2 = 9/4 + 9/4 = 9/2 ✓
حسب عكس فيثاغور: المثلث KLI قائم في L ومتقايس الضلعين في L
السؤال 3 — بيّن أن الرباعي IJKL مربع
✓ التصحيح
- (LI)//(JK) و LI = JK (متوازيا الأضلاع متساويا الطول)
- الرباعي IJKL مستطيل (له زاوية قائمة) وضلعاه متساويان
الرباعي IJKL مربع