4
معطيات التمرين
ABCDEFGH متوازي مستطيلات حيث AB=10 و AD=6 و AE=8
M نقطة من [EF] بحيث FM = x حيث x ∈ ]0;10[
و (MN)//(FO)
M نقطة من [EF] بحيث FM = x حيث x ∈ ]0;10[
و (MN)//(FO)
السؤال 1 — بيّن أن OF = 5
✓ التصحيح
المثلث FBC قائم في B، حسب فيثاغور:
CF² = BF² + BC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100 → CF = 10
OF = CF/2 = 5 (O مركز ABCD، O منتصف [AC] و [BD])
السؤال 2 — بيّن أن (EF)⊥(BFG)
أ.
بيّن أن (EF)⊥(BFG)
✓ التصحيح
- (EF)⊥(BF) و (EF)⊥(GF) لأن ABFE و EFGH مستطيلان
- المستقيمان (BF) و (GF) متقاطعان ومحتويان في (BFG)
(EF) ⊥ (BFG)
ب.
استنتج أن المثلث EFO قائم الزاوية في F
✓ التصحيح
- (EF)⊥(BFG) إذن EF عمودي على كل مستقيم من (BFG) يمر بـF
- (FO)⊂(BFG) و F∈(FO) إذن (EF)⊥(FO)
المثلث EFO قائم الزاوية في F
ج.
احسب OE
✓ التصحيح
OE² = EF² + FO² = 10² + 5² = 100 + 25 = 125
OE = 5√5
السؤال 3 — بيّن أن MN = 5 − ½x
أ.
بيّن أن MN = 5 − ½x
✓ التصحيح
في المثلث EFO: M∈[EF] و N∈[EO] و (MN)//(FO)
حسب طاليس:
EM/EF = MN/FO → MN = (EM × FO)/EF
EM = EF − FM = 10 − x
MN = ((10−x) × 5)/10 = (50−5x)/10 = 5 − ½x
ب.
عبّر عن مساحة شبه المنحرف MFON بدلالة x
✓ التصحيح
S = (MN + OF) × MF / 2 = ((5 − ½x) + 5) × x / 2
S = (10 − ½x) × x / 2 = (10x − ½x²) / 2
S = 5x − ¼x²
السؤال 4 — انشر وحل
أ.
انشر العبارة p = (x−10−2√5)(x−10+2√5)
✓ التصحيح
p = [(x−10) − 2√5][(x−10) + 2√5] = (x−10)² − (2√5)²
= x² − 20x + 100 − 20
p = x² − 20x + 80
ب.
حل p = 0 في ]0;10[
✓ التصحيح
p = 0 ⟺ x − 10 − 2√5 = 0 أو x − 10 + 2√5 = 0
x = 10 + 2√5 أو x = 10 − 2√5
بما أن 10 + 2√5 ∉ ]0;10[ و 10 − 2√5 ∈ ]0;10[
S]0;10[ = {10 − 2√5}
ب.
أوجد x حتى تكون S = 20
✓ التصحيح
5x − ¼x² = 20 → 20x − x² = 80 → x² − 20x + 80 = 0
x = 10 − 2√5