3
معطيات التمرين
الجسم المصاحب ABCDEFGH قيس مكعّباً قيس طول حرفه 4
• K نقطة من (BH) يقطع (BD) في نقطة L حيث HK = 3
• M نقطة منتصف [EH] و N منتصف [CG]
المطلوب:
1. احسب BD
2. بيّن أن المثلث BDH قائم الزاوية في D وأخيرا احسب BH
3. لتكن K نقطة ؛ بيّن أن المثلث MNH قائم الزاوية
4. احسب MN و NH و MH ثم استنتج أن المثلث MGN قائم الزاوية
5. K نقطة من K والموازي لـ(BD) يقطع (BH) في L ؛ احسب KL و HL
• K نقطة من (BH) يقطع (BD) في نقطة L حيث HK = 3
• M نقطة منتصف [EH] و N منتصف [CG]
المطلوب:
1. احسب BD
2. بيّن أن المثلث BDH قائم الزاوية في D وأخيرا احسب BH
3. لتكن K نقطة ؛ بيّن أن المثلث MNH قائم الزاوية
4. احسب MN و NH و MH ثم استنتج أن المثلث MGN قائم الزاوية
5. K نقطة من K والموازي لـ(BD) يقطع (BH) في L ؛ احسب KL و HL
السؤال 1 — احسب BD
✓ التصحيح
ABCD مربع قطر له إذن:
BD = √(AB² + AD²) = √(4² + 4²) = √32 = 4√2
BD = 4√2
السؤال 2 — المثلث BDH قائم في D واحسب BH
✓ التصحيح
- (DH)⊥(ACD) إذن (DH) عمودي على كل مستقيم من (ACD) ومنه (DH)⊥(BD)
- المثلث BDH قائم في D
BH² = BD² + DH² = 32 + 16 = 48 → BH = 4√3
السؤال 3 — المثلث MGN قائم الزاوية في G
✓ التصحيح
- المستقيم (MG) محتو في المستوى (EHG) ويمر من G
- المستقيم (NG) محتو في المستوى (EHG) ويمر من G، وبما أن (MG) عمودي على المستوى (EHG) فإن المثلث MGN قائم الزاوية في G
المثلث MGN قائم في G
السؤال 4 — احسب MN و NH و MH
✓ التصحيح
لدينا: M منتصف [EH] و N منتصف [CG]
MN² = MG² + GN² = 4² + 2² = 20 → MN = 2√5
NG = CG/2 = 4/2 = 2
EH = 4 → MH = EH/2 = 2
في المثلث NGH قائم الزاوية في G:
NH² = NG² + HG² = 4 + 16 = 20 → NH = 2√5
MH = 2
السؤال 5 — احسب KL و HL
—
K نقطة من (BH) حيث HK = 3، المستقيم الموازي لـ(BD) والمار من K يقطع (BH) في L. احسب KL و HL
✓ التصحيح
في المثلث BDH: (KL)//(BD) و K على [BH]
حسب نظرية طاليس:
HK/HB = HL/HD → 3/(4√3) = HL/4
HL = 4 × 3/(4√3) = 3/√3 = √3
KL = HK × BD/HB = 3 × 4√2/(4√3) = 3√2/√3 = √6
HL = √3 ؛ KL = √6